- まとめ
「チェバの定理」とは
三角形と点について成り立つ定理のこと。
Aの前提
三角形ABCと, その辺上ではない点Oをとる.
A. チェバの定理
直線OAと辺BCの交点をP, 直線OBと辺CAとの交点をQ, 直線OCと辺ABとの交点をRとする. なお, 直線と辺の延長線上での交点も認める. このとき, $(\ast)$ が成り立つ:
$$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} =1 \cdots \cdots (\ast)$$
Bの前提
直線AB上の点 $\mathrm{R}$, 直線BC上の点 $\mathrm{P}$, 直線CA上の点 $\mathrm{Q}$ をとる. これらの点は三角形の頂点ではないとする.
B. チェバの定理の逆（共点条件）
$\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ のうち, 三角形の辺上にある点の個数が3個か1個で, さらに関係式 $(\ast)$ が成り立つとき, 3直線 $\mathrm{AP}$, $\mathrm{BQ}$, $\mathrm{CR}$ は1点で交わるか, すべて平行である.
ポイント解説
A
参考図（ $(\ast)$ の見方）
B
参考図（共点の存在(上), 平行(下)）
