• まとめ

「等比数列」とは

隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。

定義

任意の $n$ について,

$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$

が成り立つ.

漸化式

公比を $r$ とおくと, $a_{n+1} = r a_n$ が得られる.($r \neq 1$)

A. 等比数列の一般項

$a_n=a_1 r^{n-1}$

B. 等比数列の和

$r=1$ のとき, $S_n= na_1$.

$r\neq 1$ のときは,

$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_1r^{k-1} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

C. 等比中項の関係

実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等比数列である $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$.

ポイント解説

$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$(2倍)

・漸化式:$a_{n+1} = 2 a_n$
・一般項:$a_n = 2^{n-1}$
・和の式:$S_n = 2^n-1$

B

$S_n= a+ ar +\cdots + ar^{n-1}$ について, $rS_n - S_n = ar^n - a$ が成り立つことからBは導出できる。

初項の調整

$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$

末項の調整

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$

指数の調整

$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$

C

等比数列の定義 $\frac{c}{b} = \frac{b}{a}$ と同値。