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数学のまとめノート
「等比数列」とは
隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。
定義
任意の $n$ について,
$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$
が成り立つ.
漸化式
公比を $r$ とおくと, $a_{n+1} = r a_n$ が得られる.（$r \neq 1$）
A. 等比数列の一般項
$a_n=a_1 r^{n-1}$
B. 等比数列の和
$r\neq 1$ のとき, $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_1r^{k-1} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$.
C. 等比中項の関係
実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等比数列である $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$.
ポイント解説
例
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$（2倍）
・漸化式：$a_{n+1} = 2 a_n$
・一般項：$a_n = 2^{n-1}$
・和の式：$S_n = 2^n-1$
B
$S_n= a+ ar +\cdots + ar^{n-1}$ について, $rS_n - S_n = ar^n - a$ が成り立つことから導出できる。
初項の調整
$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$
末項の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$
指数の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$
C
等比数列の定義 $c/b = b/a$ と同値。
等比数列の数学的解説
等比数列の式について
等比数列の定義・一般項
定義（等比数列）
数列 $\{ a_n \}_{n\in \mathbb{N}}$ が $\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を満たすとき, 等比数列という.
例えば, $1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, $128$, $\cdots$ は等比数列です！
等比数列の漸化式
等比数列の一定の比を $r \neq 0$ と置く. 数列 $\{ a_n \}_n$ は任意の自然数 $n$ について $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = r$$ を満たす. この式は $a_{n+1} = ra_n$ とも表せる. なお, $r$ を公比という.
等比数列の一般項
初項が $a = a_1$ のとき, 数列 $\{ a_n \}_n$ の一般項は
$$a_n = a r^{n-1}$$
となる.
等比数列の和の公式について
等比数列の和の公式
詳しい証明はこちら
公式
$$\sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$
ただし, $r\neq1$ とする.
等比数列 $\{ ar^{n-1} \}_{n \in \mathbb{N}}$ について, 和の公式を導出・証明してみよう。
例えば, 等比数列 $\{ 3 \cdot 2^{n-1} \}_{n}$ について, 初項から第4項目までの和は $3 + 6 + 12 + 24 = 45$ です。公式でも $\frac{3(2^4-1)}{2-1} = 45$ です！
公式のイメージ
$3 + 6 + 12 + 24 = 45$ の両辺を2倍すると $6 + 12 + 24 + 48 = 90$ です。同じ数がうまく消えるように, ２式を引くと
$$\begin{aligned}
90 & = \phantom{rrrr} 6 + 12 + 24 + 48 \\
45 & = 3 + 6 + 12 + 24 \\ \hline
45 &= -3 \phantom{rrrrrrrrrrrr} +48
\end{aligned}$$
という感じの計算ができる。
公式. $r \neq 1$, $a$ を定数とする. $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ である.
$S = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1}$ と置く.
両辺を $r$ 倍した, $rS = ar + ar^2 + \cdots + ar^n$ の両辺から元の式の両辺をそれぞれ引く.
左辺の差は $(r-1)S$ である. 右辺の差は $ar^n - a$ となる.
$$\begin{align}
rS & = \phantom{rrrr} ar + \cdots + ar^{n-1} + ar^n \\
S & = a + ar + \cdots + ar^{n-1} \\ \hline
(r-1)S &= -a \phantom{rrrrrrrrrrrrrrrrr} +ar^n
\end{align}$$
よって, $(r-1)S = a(r^n-1)$ を得る. $r \neq 1$ より $\displaystyle S = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ を得る.
ゆえに, $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ である.
等比数列の和の公式のコツ
テクニック
詳しい解説はこちら
等比数列の公式のコツ
①末項の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$
②初項の調整
$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1} = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$
③指数の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$
ただし, $r\neq1$ とする.
$r \neq 1$ のとき, 等比数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nr^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$ を使うときの計算テクニックを習得してみよう。
例えば, $\displaystyle \sum_{k=3}^{10} 3^{k+1}$ の場合, $$\displaystyle 9\sum_{k=1}^{10} 3^{k-1} - 9\sum_{k=1}^{2} 3^{k-1}$$ とすれば, 公式が使える形になります！
計算のセンス
等比数列の初項が $3^{3+1} = 81$, 項数が $10-(3-1)=8$ と分かるので, $\displaystyle \sum_{k=1}^83^{k-1} = \frac{3^8-1}{3-1}$ としてもよい。
