- 目次
- 理解
- 実例
- コード
- まとめ
【理解】等比数列の数学的解説
等比数列の定義と一般項について
「等比数列」とは
隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。
<定義・漸化式①>等比数列
$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$
詳細はこちら
<漸化式②>等比数列
$\displaystyle a_{n+1} = r a_n$
解説はこちら
<性質>等比中項
$a, b, c$ が等比数列
$\Leftrightarrow b^2=ac$
（$a, b, c$ は $0$ ではない）
証明はこちら
$a=a_n$, $b=a_{n+1}$, $c=a_{n+2}$ とする。
等比数列の定義である
$$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$
は, $$\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{b}{a}$$ であり, この式は $b^2=ac$ と同値である。
<一般項>等比数列
$a_n = a r^{n-1}$
証明はこちら
植木算の考え方を使う.
$a_n$ は，初項 $a_1$ に 公比を $(n-1)$ 回かければ良いので, $$a_n = a_1 r^{n-1}$$ になります。
<数列の和>等比数列
$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_1r^{k-1} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$
証明はこちら
計算テクニックはこちら
【実例】世の中で利用されている等比数列
<等比数列>複利法
投資額 $a$, 利子率 $r$ のとき：
$a(1+r)^n$
解説はこちら
<等比数列>音階
「ド」「ド#(レ♭)」「レ」～「ド」
$(\sqrt[12]{2})^nf_0$
解説はこちら
次の13個の音
「ド」「ド#(レ♭)」「レ」「レ#(ミ♭)」「ミ」「ファ」「ファ#(ソ♭)」「ソ」「ソ#(ラ♭)」「ラ」「ラ#(シ♭)」「シ」「ド」
の周波数は等比数列になっている。
「ド」から次の「ド」までは１オクターブ（周波数がちょうど2倍の音程）になっている。
はじめの「ド」の周波数を $f_0$, 周波数の比を $r$ とすると, 次の「ド」の周波数は $r^{12}f_0$ になる。
1オクターブの条件から, $r^{12}f_0 / f_0 = 2$ であって, $r =\sqrt[12]{2}$ になる。
【コード】Pythonで等比数列を出力
等比数列の出力 (seqを作成)
等比数列をPythonで計算してみよう。
等比数列の作成
初項a, 公比r, 項数nを指定する。
iを $1$ から $n$ の範囲の変数として等比数列の式 $a r^{i-1}$ に繰り返し代入していくことで, リスト[]に等比数列の初項から第 $n$ 項までを格納する。
Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公比 $2$ の等比数列を初項から第 $10$ 項まで出力する。
a = 1
r = 2
n = 10
seq = [a * r ** (i - 1) for i in range(1, n + 1)]
print("等比数列:", seq)
数列の折れ線グラフの作成matplotlib.pyplot(seq)
Pythonのリストから折れ線グラフを作成する方法を習得しよう。
説明
グラフを描写するためにmatplotlibモジュールを利用する。
matplotlib.pyplotのplot()関数は, 引数にリストを入れることで折れ線グラフを作成する。
Pythonコード. リスト[2, 5, 3, 4, 6, 9]の折れ線グラフを作成する。
import matplotlib.pyplot as plt
lst = [2, 5, 3, 4, 6, 9]
# 折れ線グラフを描く
plt.plot(lst)
# グラフのタイトル・ラベル
plt.title("Line Graph")
plt.xlabel("Index")
plt.ylabel("Value")
# グラフの表示
plt.show()
等比数列の和の出力sum(seq)
Pythonのリストの合計を出力するsum()関数の使い方を習得しよう。
説明
sum()関数は、引数にリストを入れることで、リストの要素の合計値を出力する。
Pythonコード. [5, 7, 3, 4, 8]の要素の合計値を計算して出力する。
lst = [5, 7, 3, 4, 8]
sum(lst)
等比数列の和の出力（公式の利用）
等比数列の和をPythonで計算してみよう。
等比数列の和の計算
初項a, 公比r, 項数nを指定する。
等比数列の和の公式 $a(r^n-1)/(r-1)$ を計算することで合計totalを求める。
Pythonコード入力例. 初項 $1$, 公比 $2$ の等比数列の初項から第 $10$ 項までの和を出力する。
a = 1
r = 2
n = 10
total = a * (r**n - 1) // (r -1)
print("等比数列の和:", total)
等比数列の和の数列の出力total=list(accumulate(seq))
Pythonのリストの初めからi番目までの和を並べて新しいリストを作るitertools.accumulate()関数の使い方を習得しよう。
説明
itertoolsモジュールを利用する。
accumulate()関数は, 引数にリストを入れることで, そのリストの0番目からi番目までの要素の合計値をi番目とするリストを作成する。
ただし, list()関数を適用しなければ, 実際のリストとして出力されない。
Pythonコード. [2, 7, 5, 3]のリストにaccumulate()関数を適用し新しいリストを作る。
from itertools import accumulate
lst = [2, 7, 5, 3]
result = list(accumulate(lst))
print(result)
数列の特定の値のindexの取得seq.index() total.index()
Pythonのリストの特定の要素が何番目からあるかを出力するindex()関数の使い方を習得しよう。
説明
index()関数は, リスト名.index()として引数に何番目かを検索する要素を入力することで, その要素が何番目にあるかを出力する。
※注１: 検索する要素が複数ある場合, はじめにあるものの番号が出力される。
※注２: リストは $0$ 番目からカウントするため注意する。
Pythonコード. リスト[2, 7, 5, 3]で5が何番目にあるかを出力する。
lst = [2, 7, 5, 3]
index_5 = lst.index(5)
index_5_1 = lst.index(5)+1
print("5が何番目か（0からカウント）:", index_5)
print("5が何番目か（1からカウント）:", index_5_1)
まとめノート
「等比数列」とは
隣り合う数の比がいつも等しい数列のこと。
定義
任意の $n$ について,
$\displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$
が成り立つ.
漸化式
公比を $r$ とおくと, $a_{n+1} = r a_n$ が得られる.（$r \neq 1$）
A. 等比数列の一般項
$a_n=a_1 r^{n-1}$
B. 等比数列の和
$r\neq 1$ のとき, $\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n a_1r^{k-1} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$.
C. 等比中項の関係
実数 $a$, $b$, $c$ について, この順で等比数列である $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$.
ポイント解説
例
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$, $\cdots$（2倍）
・漸化式：$a_{n+1} = 2 a_n$
・一般項：$a_n = 2^{n-1}$
・和の式：$S_n = 2^n-1$
B
$S_n= a+ ar +\cdots + ar^{n-1}$ について, $rS_n - S_n = ar^n - a$ が成り立つことから導出できる。
初項の調整
$\displaystyle \sum_{k=\square}^n r^{k-1}$ $\displaystyle = \sum_{k=1}^n r^{k-1} - \sum_{k=1}^{\square -1}r^{k-1}$
末項の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$
指数の調整
$\displaystyle \sum_{k=1}^n r^{\square} = r^{\triangle}\sum_{k=1}^n r^{k-1}$
C
等比数列の定義 $c/b = b/a$ と同値。
