『儲かるのか?』

銀行への預金でも、投資であっても、「本当に儲かるのか?」は、大事な関心ごとです。

毎年同じ金額を積み立てて預金したとき、
○○年後には預金額(元利合計額)はいくらになっているか?

この【とい】に答える数学があります!
と言うことで、次の数学の納得に挑戦したいです!

$$\frac{a ( b^{n+1} -1 )}{b-1}$$

※この式を見て「ウッ」ってなって他のページに行こうと思った方は、まず「複利法の数学の公式の生かし方」は見ておいてね。

複利法の数学の公式の生かし方

複利法の数学の公式の[意味と見方]

まず、数学の公式の文字の意味(見方)をチェックします!

文字意味例(預金)例(借金)
$a$発生額(&積立額)10万円50万円
$r$利率0.01(1%)0.15(15%)
$b$$1 + r$1.011.1
$n$何年後か?30年後30年後
◎公式の変数の意味と事例の表◎

つまり、この表に書かれている情報があれば、未来の元利合計額が算出できる公式ってことですね!

もう一度、【とい】を確認しておきます。

毎年同じ金額を積み立てて預金したとき、
○○年後には預金額(元利合計額)はいくらになっているか?

  • 同じ金額の積み立て → $a$
  • ○○年後 → $n$

が文章に書かれている自分の情報で、

  • 利率 → $r$

が、【とい】には書いていないけど、必要な銀行や投資先の情報です。

複利法の数学の公式の[使い方]

計算の仕方については、こちらの動画をご覧ください。

→ 計算の方法を解説しています!

複利法の数学の公式の納得に挑戦しよう!

使う前提の数学の公式

寝かせっぱなしの複利法の公式

次の数学の公式を使います。

$$a(1+r)^n$$

この公式は、TikTok(ティックトック)で簡単に解説しています。

はじめだけお金を預けて、寝かせっぱなしにしたとき、
○○年後には預金額(元利合計額)はいくらになっているか?

という数学の公式です。

スタート【そもそも複利式の金利計算って?】

複利式の金利は「残高 × 利率」で計算できます!

例えば、10万円が残高のとき、利率が 0.01(1%)のとき、

  • 10万円 × 0,01 = 1,000円 【金利】
  • 10万円 + 1,000円 【元利合計額】

ということです。

もしくは、

  • 10万円 × 1.01 = 101,000円 【元利合計額】

でスグに計算OKです!

コツコツ計算【30年後の積立額は?】

利率は1%(0.01)で、はじめに10万円預けたとします。

来年度は、さきほど計算したように、10万1千円です。

  • 10万円 × 1.01 = 101,000円 【1年後利子付き】

積み立てなので、また10万円を預けます。

  • 10万1千円 + 10万円 = 201,000円 【1年後利子+積立込】

これで1年目の預金額が計算できました。

2年目に話を進めます。
2年目は、今の残高(20万1千円)に利子が付くので、

  • 20万1千円 × 1.01 = 203,010円 【2年後利子付き】

ここで積み立て金の10万円を預けます。

  • 20万1100円 + 10万円 = 301,100円 【2年後利子+積立込】

これで2年目の預金額が計算できました。

で、30年後まで計算したければ、この計算を30回繰り返していくわけですね。。。

ムリっ!

ポイント【なんだ天才じゃん!】

残高から、金利を計算して、積み立てて、

その残高から、また金利を計算して、積み立てて、

って計算を先ほどコツコツしました。

少し発想の転換をします。

一人が毎年コツコツ積み立てる
から
毎年、別々の人が同じ口座に同じ額を振り込む
と考えてみる

→ 銀行の立場から見ると同じことですね!(現実ではしちゃダメ!)

30年間続けてみよう。

【1人目の気持ち】

「10万円あずけた。」

「30年後どうなってるのかな?」

→ 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【元利合計額】

【2人目の気持ち(1年後に預ける人)】

「10万円あずけた。」

「29年後どうなってるのかな?」

→ 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【元利合計額】

【3人目の気持ち(2年後に預ける人)】

「10万円あずけた。」

「28年後どうなってるのかな?」

→ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【元利合計額】

・・・

【30人目の気持ち(29年後に預ける人)】

「10万円あずけた。」

「来年どうなってるのかな?」

→ 10万円 × $1.01$ 【元利合計額】

【31人目の気持ち(30年後に預ける人)】

「10万円あずけた。」

「俺が預けて終わりだ!」

→ 10万円 のまま 【元利合計額】

全員の【元利合計額】の合計が銀行に預けた30年後のトータルの金額ですね。

  • 10万円 × $(1.01)^{30}$ 【初代】 + 10万円 × $(1.01)^{29}$ 【二代目】+ 10万円 × $(1.01)^{28}$ 【三代目】+ ・・・+10万円 × $1.01$ 【三十代目】+10万円 【三十一代目】

$b = r + 1 = 1.01$ とだけ置き換えてあげます。

  • 10万円 × $b^{30}$ + 10万円 × $b^{29}$ + 10万円 × $b^{28}$ + ・・・+10万円 × $b$ +10万円

ややこしい計算ですが、実は、この計算はスッキリな形にできることが知られています。

高校生向け;
初項 $a=$10万, 公比 $b=1.01$, の等比数列の初項から第31項目までの和
$$\sum_{n=1}^{n=31}ab^n = a\frac{b^{31}-1}{b-1}$$

Movie 等比数列のEます

大人の皆さんは、次のことでイメージだけを持つことができます!
本当に理解する場合は、【高校生向け】のところに書いたことの勉強・必です。

大人向け;
分配法則の $(b + 1)(b - 1) = b^2 - 1$ って式は覚えていますか?【中1】
「b+1」「b-1」=「$b^2$-1」って式は、
$$b + 1 = \frac{b^2 - 1}{b-1}$$
とできます。

同様に、$(b^2 + b + 1)(b - 1) = b^3 - 1$ って式もあります。
「$b^2 + b + 1$」「b-1」=「$b^3$-1」って式は、
$$b^2 + b + 1 = \frac{b^3 - 1}{b-1}$$

同じように、

$$b^{31} + ・・・ + b + 1 = \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$

って感じです。これに「10万円」が前につきます。

まとめ!

30年後の元利合計額(30人が別々に預けた金額の合計額)は、

$$100,000 \times \frac{b^{31} - 1}{b-1}$$

数学の公式は、次の形をしている。

$$\frac{a(b^{n+1} - 1)}{b-1}$$

もう一つ証明やってみた【高校生向け(漸化式ver.)】

複利式で積立の場合、その条件式は、「次年度の残高=今年度の残高×利率 + 積立金」でした。

漸化式の発見!

この式を書き直してみます。

$$a_{n+1} = (1+r)a_n + q$$

どっかで見たことありますね。
$p = 1+r$ とおくと、$a_{n+1} = pa_n +q$ です。
($p$ でも $b$ でも良いです。)

→ そう、教科書に載ってる漸化式!ですね。

具体的な数値を入れてみると、$a_{n+1} = 1.01 a_n + 100,000$ で、初項は $a_1 = 100,000$ です。

もう教科書に載っている問題です!

漸化式の意味

特性方程式を立てて計算します。

$x = 1.01x +100,000$ → $x = -10,000,000$

これで特性型の漸化式の計算していくと、先ほどと同じ式ができます。

Point!!

教科書にある漸化式 $a_{n+1} = pa_n +q$ を、複利式の金利の意味で解釈すると、

「$(n+1)$年目の残高」は 「$n$年目の残高に利率($1+r$)をかけて積立金を合算した金額」と一致する

と言えます。

特性方程式で文字に置くけど

ちなみに、「$x$」って置きますけど、これなんなんでしょうっていつも思いますよね。

$x = (1+r)x +q$ の解のことですので、計算してみると、

$x = x + rx + q$

$rx = q$

$$x = -\frac{q}{r}$$

です。

言葉で書き換えると、

$x$ は、「利率」分の「積立金額」にマイナスを付けたものです。

それでは、今回はここまで!
ご覧いただき、ありがとうございます。

ますレッスン教室♬

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