数列の漸化式について

例題. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n -1$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい。

$a_{n+1} = 2a_n -1$ から $x = 2x-1$ を考える。これを解くと $x=1$ となる。

例の漸化式は $$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$$ と変形できる。

$b_n = a_n -1$ という数列を定義すると, $b_{n+1} = a_{n+1}-1$ である。これを当てはめると $b_{n+1} = 2 b_n$ となる。この漸化式は $\{ b_n \}$ が等比数列であることを表しており, 一般項を導出できる。$$b_n = b_1 \cdot 2^{n-1}$$

$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ より, $a_n - 1 = 2^n$ だから $$a_n = 2^n+1$$ である。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 2a_n +2^n$ の両辺を $2^n$ で割ると$$\frac{a_{n+1}}{2^n} = \frac{a_n}{2^{n-1}} +1$$ となる。$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ と置くと, 漸化式 $b_{n+1} = b_n +1$ を得る。

数列$\{ b_n \}$ は, 初項 $1$, 公差 $1$ の等差数列であるから, $b_n = n$ である。

したがって, $a_n = n \cdot 2^{n-1}$ と分かる。

解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$ の両辺の逆数を考えると $$\frac{1}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{a_n} + 2$$ となる。

$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ と置くと, 漸化式 $b_{n+1} = 3b_n +2$ を得る。

数列$\{ b_n +1 \}_n$ は, 初項 $\displaystyle b_1 + 1 = \frac{1}{a_1} + 1 = 2$, 公差 $3$ の等比数列であるから, $b_n +1 = 2 \cdot 3^{n-1}$ である。$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$ であったから, 数列 $\{ a_n\}$ の一般項を求めると $$a_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1} - 1}$$ である。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, $a_{n＋2} = 3a_{n+1} + 4(n+1)$ を考える。

$$\begin{array}{cccccc} & a_{n+2} &=& 3a_{n+1} &+& 4(n+1) \\ - & a_{n+1} &=& 3a_n &+& 4n \\ \hline & a_{n+2} - a_{n+1} &=& 3(a_{n+1} - a_n) & +& 4 \end{array}$$

となる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と置けば, $b_{n+1} = 3b_n +4$ を得る。

数列$\{ b_n + 2 \}_n$ は, 初項 $b_1 + 2 = 8$, 公比 $3$ の等比数列である。

ゆえに, $b_n +2 = 8 \cdot 3^{n-1}$ であり $b_n = 8 \cdot 3^{n-1} -2$ と分かる。$b_n = a_{n+1} - a_n$ と定めたから $n \geqq 2$ のとき $$\begin{aligned} a_n & =1 + \sum_{k=1}^{n-1} (8 \cdot 3^{k-1} - 2) \\ &=1 + \frac{8(3^{n-1}-1)}{3-1} - 2(n-1) \\ &= 1 + 4(3^{n-1} - 1) - 2(n-1) \\ &= 4 \cdot 3^{n-1} -(2n +1). \end{aligned}$$

したがって, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n +1)$ と分かる。

解法. 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4n$ について, もし $$\displaystyle \frac{a_{n+1} + s(n+1) + t}{a_n + sn + t}=3$$ となる実数 $s, t$ が存在すれば, $b_n = a_n + sn+t$ と置いた数列 $\{ b_n\}$ は漸化式 $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n} =3$ を満たすことが言える。

$$\begin{aligned}
\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} +s(n+1)+t}{a_n+(sn+t)} \\
& = \frac{3a_n + 4n +s(n+1)+t}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3a_n + (4+s)n + (s+t)}{a_n+sn+t} \\
& = \frac{3\{a_n + \frac{4+s}{3}n + \frac{s+t}{3} \}}{a_n+sn+t}
\end{aligned}$$

以上から, $\displaystyle \frac{4+s}{3} = s$ かつ $\displaystyle \frac{s+t}{3}=t$ を満たす $s = 2$, $t=1$ を取ればよいことが分かる。

$b_n = a_n + 2n+1$ は初項 $b_1 = a_1 + 2+1 = 4$, 公比 $3$ の等比数列であるので, $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ と一般項を導ける。

ゆえに, $a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - (2n+1)$ である。

解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{2}{a_n})$ の両辺から $\pm \sqrt{2}$ を引くことで

$$\begin{aligned}
a_{n+1} \pm \sqrt{2} &= \frac{a_n^2 +2}{2a_n} \pm \sqrt{2} \\
&= \frac{a_n^2 \pm 2\sqrt{2} a_n + 2}{2a_n} \\
&= \frac{(a_n \pm{\sqrt{2}})^2}{2a_n}
\end{aligned}$$

という変形を行う.この２式の両辺をそれぞれ割ることで,

$$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2}}{a_{n+1} + \sqrt{2}}= \left(\frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}\right)^2$$

の形を得る.

$\displaystyle b_n = \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}$ と置くことで, 漸化式 $b_{n+1} = b_n^2$ の形に帰着できる.

$b_{n} = b_{n-1}^2 = b_{n-2}^4 = \cdots = b_1^{2^{n-1}}$ である.

また, $\{ b_n \}$ の初項は$$\displaystyle b_1 = \frac{a_1 - {\sqrt{2}}}{a_1 +{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-3$$ である. 以上から, $$\displaystyle \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}} = (2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}$$ となる. ゆえに, $$\displaystyle a_n = \frac{1+(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}{1-(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}$$ である.