- まとめ
「漸化式」とは
各項とそれ以前の項との関係を表す式のこと。
基本
漸化式から一般項の式を導くことを目指す.
A. 基礎的な漸化式
- 定数型：$a_{n+1} =a_n$ $\Leftrightarrow$ $a_n = a_1$
- 等差型：$\displaystyle a_{n+1} = a_n + d$ $\Leftrightarrow$ $a_n = a_1 + (n-1)d$
- 等比型：$\displaystyle a_{n+1} = r a_{n}$ $\Leftrightarrow$ $a_n = a_1r^{n-1}$
- 階差型：$a_{n+1} = a_n + f(n)$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$
B. 特性型の漸化式
- $a_{n+1} = pa_n + q$ のときは, $x=px+q$ の解 $\alpha$ を利用する.
- $a_{n+2} = pa_{n+1} + q a_n$ のときは, $x^2 = px + q$ の解 $\alpha$, $\beta$ を利用する.
ポイント解説
A
❹２つの項の差が一定の値ではなく, $n$ に依存する形です。この場合, $f(n)$ が階差数列そのものです。
B
(1) $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ に変形します。数列 $\{ a_n - \alpha \}_n$ が等差数列だと分かるので❸を利用し $a_n-\alpha$ を導きます。$-\alpha$ を移行すれば $a_n$ が分かります。
(2) 与式を次の２つの式に変形することができます。
$a_{n+2} - \alpha a_{n+1}$ $= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n)$
$a_{n+2} - \beta a_{n+1} $ $= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n)$
$\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ と $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ が等比数列と分かるので❸の変形をします。
$a_{n+1} - \alpha a_n$ $= (a_2 - \alpha a_1) \cdot \beta^{n-1}$
$a_{n+1} - \beta a_n$ $= (a_2 - \beta a_1) \cdot \alpha^{n-1}$
この２式を連立して, $a_n$ の式を作れます。
