- 目次
- 等差数列
- 等比数列
- 階差数列
- 数列の和
- 漸化式
- 数学的帰納法
- フィボナッチ数列
等差数列
等差数列の一般項
数列の中で最も基本的な等差数列を解説します。定義（等差数列）
数列 $\{a_n\}$ の隣接する二項の差が常に等しい, つまり, $$a_{n+2} - a_{n+1} = a_{n+1} - a_n$$ が成り立つとき, この数列を等差数列という。
ある数列について, （任意の）隣接する３項 $a$, $b$, $c$ について, $a+c = 2b$ を満たすことは等差数列であるための必要十分条件である。
（この条件を等差中項の関係という。）
漸化式（等差数列）
等差数列 $\{a_n\}$ は, ある定数 $d$ について,
$$a_{n+1} - a_{n} = d$$
とできる。定数 $d$ を公差という。
一般項（等差数列）
初項 $a$, 公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項は
$$
a_n = a + (n-1)d
$$
で与えられる。
この式を等差数列の一般項という。
等差数列の和の公式
等差数列 $\{a_n\}$ について, 初項から第 $n$ 項までの和を求める公式を紹介します。公式（等差数列の和）
初項 $a$, 公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ について, 初項から第 $n$ 項までの和について, 次が成り立つ：
$$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}\{ 2a + (n-1)d \}$$
さまざまな自然数の和
$2$ から $n$ 番目の偶数までの総和が, 足した偶数の個数 $n$ と $n+1$ の積で表せることを確かめてみよう。
例えば, $2$ から $10$ までの $5$ 個の偶数の和は $30$ である。一方で, $5 \times (5+1)$ も $30$ である。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
命題（偶数の和）
$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n$ $= n(n+1)$
理屈
偶数を下図のように長方形として並べる。左上の2つの黒丸が2を表し, 4つのオレンジの丸が4を表す。以下, 6, 8, 10まで表している。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
$2$ から $n$ 番目の偶数までの総和が, 足した偶数の個数 $n$ と $n+1$ の積で表せることを確かめてみよう。
例えば, $2$ から $10$ までの $5$ 個の偶数の和は $30$ である。一方で, $5 \times (5+1)$ も $30$ である。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
命題（偶数の和）
$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n$ $= n(n+1)$
理屈
偶数を下図のように長方形として並べる。左上の2つの黒丸が2を表し, 4つのオレンジの丸が4を表す。以下, 6, 8, 10まで表している。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
$2$ から $n$ 番目の偶数までの総和が, 足した偶数の個数 $n$ と $n+1$ の積で表せることを確かめてみよう。
例えば, $2$ から $10$ までの $5$ 個の偶数の和は $30$ である。一方で, $5 \times (5+1)$ も $30$ である。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
命題（偶数の和）
$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n$ $= n(n+1)$
理屈
偶数を下図のように長方形として並べる。左上の2つの黒丸が2を表し, 4つのオレンジの丸が4を表す。以下, 6, 8, 10まで表している。
ゆえに, $2$ から $n$ 番目の偶数までの総和は $n(n+1)$ となることが分かる。
等差数列の和の最大・最小
初項 $a$, 公差 $d$, 項数 $n$ の等差数列 $\{a_k\}$ において,
和
$$
S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n
$$
は次の条件で最大または最小となる。
公差 $d>0$ のとき, 初項と末項の積が $a_1 a_n \le 0$ となる初めての $n$ のとき, $S_n$ が最大となる。
公差 $d<0$ のときも同様に, $a_1 a_n \le 0$ のとき, $S_n$ が最小となる。
初項と末項が同符号の場合, 和の最大・最小は端の項の値に依存する。
等差数列のPythonコード
Pythonを利用した, 等差数列の処理を説明します。等差数列の出力
等差数列の第 $n$ 項の値seqは, 一般項 $a_n = a + (n-1)d$ を利用して, 次の式で処理できる：
seq = [a + (i - 1) * d for i in range(1, n + 1)]
等差数列の和の出力
等差数列の和totalは, $\sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$ を利用して, 次の式で処理できる：
total = n * (2 * a + (n - 1) * d) // 2
a = 1 # 初項
d = 2 # 公差
n = 10 # 項数
# 等差数列をリストとして生成
seq = [a + (i - 1) * d for i in range(1, n + 1)]
# 等差数列の和を計算
total = n * (2 * a + (n - 1) * d) // 2
# 出力
print("等差数列:", seq)
print("等差数列の和:", total)調和数列
定義（調和数列）
数列 $\{a_n\}$ に対して, その各項の逆数からなる数列
$$
\left\{\frac{1}{a_n}\right\}
$$
が等差数列となるとき,
$\{a_n\}$ を調和数列という。
調和数列の一般項
調和数列 $\{a_n\}$ の一般項は
$$a_n = \frac{1}{\frac{1}{a_1} + (n-1)d}$$
である。ただし, $d$ は逆数の公差である。
等比数列
等比数列
等比数列の定義
数列 $\{a_n\}$ が等比数列であるとは,
隣り合う項の比が常に一定であることをいう。
すなわち, ある定数 $r$ を用いて
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=r
$$
が成り立つとき,
この数列を公比 $r$ の等比数列という。
等比数列の一般項
初項 $a$ の等比数列の一般項は次の通り：
$$
a_n=a r^{n-1}
$$
等比数列の和
等比数列の最初の $n$ 項の和を $S_n$ とすると,
$r\neq 1$ の場合,
$$
S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}
$$
が成り立つ。$r=1$ の場合は, $$ S_n=na $$ となる。
複利と等比数列
元金 $P$ を利率 $r$ で複利運用するとき,
$n$ 期間後の金額は
$$
P(1+r)^n
$$
で表される。
音階と等比数列
西洋音楽の平均律では,
1 オクターブ上の音は周波数が 2 倍になる。
1 オクターブを 12 等分すると,
隣り合う音の周波数比は一定となり,
公比
$$
r=2^{1/12}
$$
の等比数列をなす。
階差数列
階差数列
階差数列の定義
数列 $\{a_n\}$ に対して,
隣り合う項の差
$$
b_n=a_{n+1}-a_n
$$
によって定まる数列 $\{b_n\}$ を,
$a_n$ の階差数列という。
階差数列と元の数列の関係
階差数列 $\{b_n\}$ が与えられたとき,
$a$ を初項として,
$a_n$ は
$$
a_n=a+\sum_{k=1}^{n-1} b_k
$$
と表される。
望遠鏡和の考え方
和
$$
\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1}-a_k)
$$
を考える。
この和を展開すると,
$$
(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots+(a_{n+1}-a_n)
$$
となり,
中間の項が次々に打ち消し合う。
その結果,
$$
\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_1
$$
となる。
このように,
途中の項が消えて端だけが残る和を,
望遠鏡和という。
望遠鏡和と階差数列
階差数列 $b_k=a_{k+1}-a_k$ の和は,
$$
\sum_{k=1}^{n} b_k = a_{n+1} - a_1
$$
という形になる。
数列の和
数列の和
数列の和と和の記号
数列 $\{a_n\}$ の第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和は,
$$
a_1+a_2+\cdots+a_n
$$
と表される。
この和を簡潔に表すために,
次の記号を用いる：
$$
\sum_{k=1}^{n} a_k
$$
この記号を,
シグマ記号という。
代表的な和の公式
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} c=nc$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k=\frac{1}{2}n(n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} r^{k-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$
和の記号の線形性
定数倍について
$$\sum_{k=1}^{n} c a_k=c\sum_{k=1}^{n} a_k$$
和について
$$\sum_{k=1}^{n} (a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n} a_k+\sum_{k=1}^{n} b_k$$
群数列の考え方
数列の和を考えるとき,
項をいくつかずつまとめて足すことがある。
例えば,
$$
a_1+a_2+a_3+a_4+\cdots
$$
を
$$
(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\cdots
$$
のようにまとめる操作を,
群数列という。
群数列は,
項の並び方や対称性を利用して,
和を簡単に計算するための考え方である。
漸化式
漸化式
漸化式
数列 $\{a_n\}$ において,
ある項をそれ以前の項を用いて表した式を,
漸化式という。
漸化式と一般項の対応
定数列
$$a_{n+1}=a_n \;\to\; a_n=a_1$$
等差数列
$$a_{n+1}=a_n+d \;\to\; a_n=a_1+(n-1)d$$
等比数列
$$a_{n+1}=r a_n \;\to\; a_n=a_1 r^{\,n-1}$$
階差数列
$$a_{n+1}-a_n=b_n \;\to\; a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$
階比数列
$$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=r_n \;\to\; a_n=a_1\prod_{k=1}^{n-1} r_k$$
特性型の漸化式
一次の線形漸化式
$$a_{n+1}=p a_n+q$$
を,
特性型の漸化式という。
3項間漸化式
2つ前までの項を用いて定まる漸化式を,
3項間漸化式という。
一般に,
$$a_{n+1}=p a_n+q a_{n-1}$$
の形で与えられる。
数学的帰納法
数学的帰納法
数学的帰納法
数学的帰納法は,
自然数 $n$ に関する命題を証明するための方法である。自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ が, すべての $n$ について成り立つことを示すには, 次の 2 段階を確認する。
初期段階
$P(1)$ が成り立つことを確かめる
帰納段階
$P(k)$ が成り立つと仮定して,
$P(k+1)$ が成り立つことを示す
数学的帰納法の本質は,
「一段ずつ進む」構造にある。
この考え方は,
数列だけでなく,
多くの数学的構造に現れる。
最初の一段目を確認する
次に進める仕組みを確認する
すべての段に性質が伝わると考える
数列との関係
数学的帰納法は,
数列の一般項を扱う場面で特に重要である。
一般項の公式が,
初項を満たすかどうかの確認
漸化式から次の項が正しく導かれるかの確認
「すべての $n$」に対して成り立つことの保証
数学的帰納法の位置付け
数学的帰納法は,
次の役割を果たす。
一般項の正しさを保証する
漸化式による定義を補強する
無限に続く主張を有限の確認で扱う
フィボナッチ数列
フィボナッチ数列
フィボナッチ数列とは, 直前の 2 項の和によって次の項が定まる数列である。漸化式による定義
フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ は,
次の漸化式によって定義される。
初期条件
$F_1=1, F_2=1$
漸化式
$F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \ (n\ge 2)$
ビネーの公式
フィボナッチ数列の第 $n$ 項は,
次の式で与えられる。
$$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}$$
フィボナッチ数列の和
$$\sum_{k=1}^{n} F_k = F_{n+2}-1$$
偶数項の和
フィボナッチ数列の偶数番目の項の和について,
次の関係が成り立つ。
$$F_2+F_4+\cdots+F_{2n}=F_{2n+1}-1$$
平方和の性質
フィボナッチ数列の平方和には,
次の関係がある。
$$F_1^2+F_2^2+\cdots+F_n^2=F_n F_{n+1}$$
隣接項の積に関する性質
隣接するフィボナッチ数には,
次の恒等式が成り立つ。
$$F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n$$
項の比の極限
フィボナッチ数列の連続する項の比は,
一定の値に近づく。
$$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
