ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ について, なす角を $\theta$ とすると, 内積は $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta$ であった。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が作る三角形について余弦定理を用いると, $$ |\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta $$ が得られる。

一方, $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ について成分表示をすると, $$\begin{aligned} |\vec{a} - \vec{b}|^2 &= (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 \\ &= a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) \end{aligned}$$ である。

余弦定理の式と成分表示の式を比較すると $$ - 2|\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2) $$ とでき, $$ |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos \theta = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ が得られる。

ゆえに, $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 $$ が成り立つ。

$\displaystyle \vec{x} = \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \vec{a}$ と置き, $\vec{x}$ が $\vec{b}$ の $\vec{a}$ への正射影ベクトル $\vec{b}_a$ であることを示す。

ベクトル $\vec{b}$ のベクトル $\vec{a}$ への正射影ベクトルとは, $\vec{b} = \vec{b}_a + \vec{b}^{\perp}$ と分解したときの $\vec{b}_a$ であった。 ここで, $\vec{b}_a$ は $\vec{b}_a // \vec{a}$ を満たし, $\vec{b}^{\perp}$ は $\vec{b}^{\perp} \perp \vec{a}$ を満たすベクトルである。

$\vec{x}$ は $\vec{a}$ と平行であることは自明である。

ベクトル $\vec{b} - \vec{x}$ が $\vec{a}$ と直交することを示す。 実際, 内積を計算すると $$ (\vec{b} - \vec{x}) \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{b} \cdot \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 = 0. $$ よって, $(\vec{b} - \vec{x}) \perp \vec{a}$ である。

①②より, $\vec{x}$ は正射影ベクトルの定義を満たす。ゆえに, $\vec{x}$ は $\vec{b}$ の $\vec{a}$ への正射影ベクトルである。

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を取る。また, これらのベクトルのなす角を $\theta$ とする。

ベクトルの内積の定義から, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ である。
$-1 \leq \cos \theta \leq 1$ より, 次のように計算できる： $$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|.$$ ゆえに, $|\vec{a}\cdot\vec{b}| \le |\vec{a}|\,|\vec{b}|$ が成り立つ。

等号が成立するためには, $|\cos \theta|=1$ であることが必要十分条件である。 $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ であるから, 等号成立は $\theta = 0^{\circ}, \ 180^{\circ}$ のときに限る。 つまり, 等号成立は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるときに限ることを意味する。

ゆえに, コーシー=シュワルツの不等式が成り立つ。

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分を, 比 $m:n$ で内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ を考える。

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上の $$ \mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n $$ を満たす点である。 したがって, $$ \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = m : (m+n) $$ が成り立つ。

点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ 上にあるため, $\overrightarrow{\mathrm{AP}} / \! / \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であり, $$ \overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m+n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} $$ が成り立つ。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b} - \vec{a}$ かつ $\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \vec{p} - \vec{a}$ であるから, $$ \vec{p} - \vec{a} = \frac{m}{m+n}(\vec{b} - \vec{a}) $$ が成り立つ。 これを整理すると, $$ \vec{p} = \frac{ m(\vec{b} - \vec{a})}{m+n} + \vec{a} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} $$ を得る。

ゆえに, ベクトルの内分点の公式が証明できた。

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ と $\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ直線上で, 比 $m:n$ に外分する点 $\mathrm{Q}(\vec{q})$ を考える。

点 $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AB}$ 上の $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n $$ を満たす点である。なお, 点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の外側にある。

3点の並びが $$ \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} \;-\; \mathrm{Q} $$ であるときを考える。 定義より, $$ \mathrm{AQ} : \mathrm{AB} = m : (m-n) $$ である。 よって, $$ \overrightarrow{\mathrm{AQ}} = \frac{m}{m-n}\overrightarrow{\mathrm{AB}} $$ と表される。 ここで, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\vec{q}-\vec{a}$ であるから, $$ \vec{q}-\vec{a} = \frac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a}) $$ が成り立つ。 これを整理すると, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。

3点の並びが $$ \mathrm{Q} \;-\; \mathrm{A} \;-\; \mathrm{B} $$ のときについては, $$ \mathrm{BQ} : \mathrm{BA} = n : (n-m) $$ が成り立つ。 さきほどと同様にして, $$ \vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} $$ を得る。

ゆえに, ベクトルの外分点の公式が証明できた。

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。

点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{M}(\vec{m})$ について, $$ \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $$ である。

重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は, 中線である $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する点である。 したがって, 内分点の公式より $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{m}}{3} $$ が成り立つ。

上式に, $\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ を代入すると, $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ を得る。

ゆえに, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ で与えられることが示された。

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$, $\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。

点 $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{M}(\vec{m})$ について, $$ \vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $$ である。

重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は, 中線である $\mathrm{AM}$ を $2:1$ に内分する点である。 したがって, 内分点の公式より $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + 2 \vec{m}}{3} $$ が成り立つ。

上式に, $\vec{m} = \dfrac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ を代入すると, $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ を得る。

ゆえに, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は $$ \vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} $$ で与えられることが示された。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ とする。

外心 $\mathrm{O}$ は, 三角形の各頂点から等距離にある点であり, その距離は外接円の半径 $R$ と一致する。つまり, $$ \mathrm{OA} = \mathrm{OC} = \mathrm{OC} = R $$ である。

外接円について, 円周角の定理より中心角 $\angle \mathrm{BOC}$ は円周角 $\angle \mathrm{BAC}$ の2倍の大きさである。つまり, $\angle \mathrm{BOC} = 2A$ である。同様に, $\angle \mathrm{COA} = 2B$, $\angle \mathrm{AOB} = 2C$ が成り立つ。

①②と三角形の面積の公式から, $$ \begin{aligned} \triangle \mathrm{OAB} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2A \\ \triangle \mathrm{OBC} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2B \\ \triangle \mathrm{OCA} &= \frac{1}{2}R^2 \sin 2C \end{aligned} $$ が成り立つ。

ゆえに, はじめに記載した公式により, 外心 $\mathrm{O}$ の位置ベクトル $\vec{o}$ は, $$ \begin{aligned} \vec{o} &= \frac{\frac{1}{2}R^2 \sin 2A \vec{a}+ \frac{1}{2}R^2 \sin 2B \vec{b}+ \frac{1}{2}R^2 \sin 2C \vec{c}}{\frac{1}{2}R^2 \sin 2A + \frac{1}{2}R^2 \sin 2B + \frac{1}{2}R^2 \sin 2C} \\ & =\frac{\sin 2A \vec{a}+\sin 2B \vec{b}+ \sin 2C \vec{c}}{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \end{aligned} $$ と表されることが分かる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とする。内心を $\mathrm{I}(\vec{i})$ とする。

$\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とすると， 内角の二等分線の定理より， $$ \mathrm{BD} : \mathrm{DC} = c : b $$ が成り立つ。 内分点の公式より， $$ \vec{d} = \frac{b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{b+c} $$ と表される。 また, $\displaystyle \mathrm{BD} = \frac{c}{b+c}a$ である。

内心 $\mathrm{I}$ は線分 $\mathrm{AD}$ 上にあり， 三角形 $\mathrm{ABD}$ において， $\angle B$ の二等分線が $\mathrm{I}$ を通ることから， $$ \mathrm{AI} : \mathrm{ID} = c : \frac{ac}{b+c} = (b+c) : a $$ となる。 よって， $$ \vec{i} = \frac{a\vec{a} + (b+c)\vec{d}}{a+b+c} $$ となる。

ここで, $\vec{d} = \dfrac{b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{b+c}$ を代入すると， $$ \vec{i} = \frac{a\,\vec{a} + b\,\vec{b} + c\,\vec{c}}{a+b+c} $$ を得る。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると, $$ \begin{aligned} a &= 2R \sin A \\ b &= 2R \sin B \\ c &= 2R \sin C \end{aligned} $$ が成り立つ。

ゆえに, 以上を組み合わせれば, $$\vec{i} = \frac{\sin A \ \vec{a} + \sin B \ \vec{b} + \sin C \ \vec{c}}{\sin A+ \sin B+ \sin C}$$ が得られる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 垂心を $\mathrm{H}(\vec{h})$, 重心を $\mathrm{G}(\vec{g})$, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ とする。

外心 $\mathrm{O}$ を原点とする座標系を考え, 次のように定める。 $$ \vec{a}'=\vec{a}-\vec{o},\quad \vec{b}'=\vec{b}-\vec{o},\quad \vec{c}'=\vec{c}-\vec{o} $$ 外心は各頂点から等距離にあるため, $$ |\vec{a}'|=|\vec{b}'|=|\vec{c}'| $$ が成り立つ。

垂心 $\mathrm{H}$ は, 各頂点から対辺に下ろした垂線の交点である。 よって, 頂点 $\mathrm{A}$ について, $$ \overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}} $$ が成り立つ。 これはベクトルで $$ (\vec{h}'-\vec{a}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}')=0 $$ と表される。 他の頂点についても同様である。

ここで, $$ \vec{h}'=\vec{a}'+\vec{b}'+\vec{c}' $$ とおく。 このとき, $$ \vec{h}'-\vec{a}'=\vec{b}'+\vec{c}' $$ であるから, $$ (\vec{h}'-\vec{a}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}') =(\vec{b}'+\vec{c}')\cdot(\vec{b}'-\vec{c}') $$ となる。 右辺を計算すると, $$ |\vec{b}'|^2-|\vec{c}'|^2=0 $$ であり, 直交条件を満たすことが分かる. 他の頂点についても同様に成り立つため, この $\vec{h}'$ は垂心を表す。

$\vec{h}'=\vec{h}-\vec{o}$ であるから, $$ \vec{h}-\vec{o} =(\vec{a}-\vec{o})+(\vec{b}-\vec{o})+(\vec{c}-\vec{o}) $$ が成り立つ. これを整理すると, $$ \vec{h} =\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}-2\vec{o} $$ を得る.

重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ の位置ベクトルは $$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$$ であった。

ゆえに, 三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心を $\mathrm{H}(\vec{h})$, 重心を $\mathrm{G}(\vec{g})$, 外心を $\mathrm{O}(\vec{o})$ について, $$ \vec{h}=3\vec{g}-2\vec{o} $$ が成り立つ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$ とし, 重心, 外心, 垂心をそれぞれ $\mathrm{G}(\vec{g}), \mathrm{O}(\vec{o}), \mathrm{H}(\vec{h})$ とする。

この式を変形すると, $$ \vec{h}-\vec{o} = 3(\vec{g}-\vec{o}) $$ を得る。 すなわち, $\overrightarrow{\mathrm{OH}}= 3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ が成り立つ。

ゆえに, $$ \overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac13 \overrightarrow{\mathrm{OH}} $$ が成り立つ。そして, 点 $\mathrm{O}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ は一直線上にあり, $\mathrm{G}$ は $\mathrm{OH}$ を $1:2$ に内分する点である。