集合の共通部分 $A \cap B$ の定義
定義（共通部分） 集合 $A$ と $B$ について, 共通部分 $A \cap B$ を $x \in A$ かつ $x \in B$ である要素の集合とする. たとえば, $A=\{1, 2, 3\}$, $B=\{ […]
集合の相等 $A = B$ の定義
定義（集合の相当） 集合 $A$ と $B$ について, $A \subset B$ かつ $B \subset A$ であるとき, 集合 $A$ と $B$ は等しいといい, $A=B$ とかく. なお, $A = B […]
集合の包含関係・部分集合 $A \subset B$ の定義
定義（包含関係） 集合 $A$ と $B$ について, $\forall x \in A$ $\Longrightarrow$ $x \in B$ であるとき, $A \subset B$ とかく. これを集合 $A$ […]
空集合 $\emptyset$ の定義
定義（空集合） 要素が何もない集合を空集合とよぶ. 空集合を $\emptyset$ や $\{\}$とかく. たとえば, 全体集合 $\{1, 2, 3, 4\}$, $A=\{1, 2, 3, 4\}$ のとき, $ […]
三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から数列の一般項を導出する
三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から一般項を導いてみよう。 2階の線形漸化式 漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から一般項を導く解法は次の通り: (2) […]
数列の和 $S_n$ を含む漸化式の一般項を求める
数列 $\{a_n\}$ とその和 $S_n$ を含む漸化式から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。 基本の解法 数列 $\{a_n\}$ とその和 $S_n$ を含む漸化式については, 関係式 $ […]
漸化式から数列のリストを出力するPythonコード
漸化式 $a_{n+1} =f(a_n)$ の形から得られる数列 $\{a_n\}$ のリストをPythonで出力してみよう。 ※$f(x)$ は数学の関数です。 Pythonコード 数列 $\{ a_n \}$ の初項 […]
トーラス上のループの名称
定義 トーラスの小円に対応するループのことを, メリディアンループ（経線）という. 大円と平行なトーラス内のループのことを, ロンジチュードループ（緯線）という. 右のドーナツで1つ1つのクルーラーに対応する線がメリディ […]
トーラスの方程式 $(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$ の証明
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。 方程式 $R > r > 0$ とする. このとき, トーラスの方程式は $(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$ である. 証明. トーラスの […]
トーラスの媒介変数表示の式
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。 媒介変数表示 $R>r > 0$, $0 \leq \theta, \varphi < 2 \pi$ とすると, 次の式はトーラスを表す: $\left\{\begin […]