リーマンゼータ関数 $\zeta(s)$ の定義
定義 実部が $1$ より大きい複素数 $s$ について, $\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ をリーマン・ゼータ関数という. なお, こ […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^4$ の公式の証明【二項定理の利用】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 = 1^4+2^4+\cdots +n^4$ の公式を二項定理を使って証明してみよう。 公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【二項定理の利用】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを二項定理を使って証明してみよう。 公式 $ […]
定数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nc=nc$ の証明
定数 $c$ の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$ が $nc$ であることを証明してみよう。 公式 $c$ を定数とする. このとき, $\displays […]
数列の和の記号の線形性の証明
数列の和の記号 $\displaystyle \sum_{k=1}^n$ に関する線形性を証明してみよう。 命題 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$, 定数 $p$ と $q$ について, $\displa […]
数列の和の記号 $\displaystyle \sum$ の定義
定義（数列の和の記号） 数列 $\{a_n\}_n$ について, $\displaystyle \sum_{k=1}^na_k := a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ と定める. ※ $\display […]
ゼータ関数の値 $\zeta(s)$ を出力するPythonコード
$s$ を実部が $1$ よりも大きい複素数とします。ゼータ関数の値 $\zeta(s)$ をPythonで計算してみよう。 ゼータ関数（小数近似） 小数近似を行う場合はmpmathモジュールを利用する。 zeta()関 […]
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $= {}_n\mathrm{C}_{r}$ $+ {}_n\mathrm{C}_{r+1}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $= {}_n\mathrm{C}_{r}$ $+ {}_n\mathrm{C}_{r+1}$ を証明してみよう。 公式 $n \geq 0$, […]
組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ を証明してみよう。 公式 $n \geq 0$, $0 \leq r \leq n$ のとき, ${}_n\math […]
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $=\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $=\displaystyle \frac{n+1}{r+1}{}_n \mathrm{C}_{r}$ を証明してみよう。 公式 $n \geq […]