相関係数 $r$ は $\cos \theta$ である
相関係数 $r$ が, データから定義される2つのベクトルのなす角 $\theta$ に関する $\cos \theta$ であることを理解してみよう。 命題 2つの変量 $x=[x_1, \ldots, x_n]$$y […]
確率変数の独立性（離散型）の定義
定義（確率変数の独立性） 離散的な確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるとは, 任意の $i$ と $j$ について, $p_{ij} = p_i q_j$ が成り立つことを言う. $(X,Y)$ $y_1$ $\c […]
同時確率分布（離散型）の定義
定義（同時確率分布） 起こりうる事象が $\{ w_{11}, w_{12}, \cdots, w_{mn}\}$ とする. $1 \leqq i \leqq m$, $1 \leqq j \leqq n$ について, […]
$V[XY]$ の公式（独立な確率変数）
独立である確率変数 $X$ と $Y$ の積の分散 $V[XY]$ を計算する公式を証明してみよう。 公式 独立な確率変数 $X$ と $Y$ について, $V[XY]$ $=(V[X]+E[X]^2)(V[Y]+E[Y […]
$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$（独立な確率変数）
独立である確率変数 $X$ と $Y$ の和の分散 $V[X+Y]$ を計算する公式を証明してみよう。 公式 独立な確率変数 $X$ と $Y$ について, $V[X+Y]=V[X] + V[Y]$ が成り立つ. 証明. […]
$E[XY]=E[X]E[Y]$【離散的確率変数】
独立である離散的な確率変数 $X$ と $Y$ の積の期待値 $E[XY]$ を計算する公式を証明してみよう。 公式 独立な確率変数 $X$ と $Y$ について, $E[XY]=E[X] E[Y]$ が成り立つ. $1 […]
$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$【離散的確率変数】
離散的な確率変数 $X$ と $Y$ の和の期待値 $E[X+Y]$ を計算する公式を証明してみよう。 公式 確率変数 $X$ と $Y$ について, $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ が成り立つ. $1 \leqq […]
分散の公式 $V[X]=E[X^2]-E[X]^2$ 【離散型確率変数】
分散 $V[X]$ が期待値を使って $E[X^2]-E[X]^2$ で表されることを証明してみよう。 公式 $X$ を確率変数とする. $V[X] = E[X^2] - E[X]^2$ 証明. 確率変数 $X$ の取り […]
標準偏差 $\sigma[aX+b]$ 【離散的確率変数 $X$ の1次変換】
確率変数 $aX+b$ の標準偏差が $|a|\sigma[X]$ で表されることを理解してみよう。 公式 $X$ を確率変数, $a$, $b$ を定数とすると, $\sigma[aX+b] = |a|\sigma[X […]
分散 $V[aX+b]$ 【離散的確率変数 $X$ の1次変換】
確率変数 $aX+b$ の分散が $a^2V[X]$ で表されることを理解してみよう。 公式 $X$ を確率変数, $a$, $b$ を定数とすると, $V[aX+b] = a^2V[X]$ が成り立つ. 証明. 確率変 […]