ベクトルの内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の成分表示（２次元）
2次元のベクトルの内積を成分で計算する公式を証明してみよう。 内積の成分表示（2次元） $\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ とすると, ベクトルの内積 $\vec […]
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ 以外をもてば循環する無限小数であること
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ 以外を持てば, 循環する無限小数であることを示してみよう。 命題 有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ […]
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ だけならば有限小数であること
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ のみであれば, 有限小数であることを証明してみよう。 命題 有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ の素因 […]
有理数が四則演算に関して閉じていること
有理数同士の四則演算の結果はすべて有理数であることを証明してみよう。 命題 有理数は四則演算に関して閉じている. 証明. $a$ と $b$ を有理数とする. このとき, ある整数 $m$ と $n$, $p$ と $q […]
無理数 $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ の定義
定義（無理数） 実数のうち, 有理数ではない数のことを無理数という. 定義 無理数全体の集合を $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ と表す. $\sqrt{2}$ や $\pi$ は無理 […]
有理数 $\mathbb{Q}$ の定義
定義（有理数） 整数 $m$ と $n \neq 0$ について, $\displaystyle \frac{m}{n}$ と表すことができる数を有理数という. 定義 有理数全体の集合を $\mathbb{Q}$ と表す […]
標本平均の標準偏差について
母集団の標準偏差が $\sigma$ のとき, 標本平均の標準偏差は $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の標準偏差を $ […]
標本平均の分散について
母集団の分散が $\sigma^2$ のとき, 標本平均の分散は $\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の分散を $\sigma^2$ […]
標本平均の期待値について
母集団の期待値が $\mu$ のとき, 標本平均の期待値も $\mu$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の期待値を $\mu$ とする. $D$ に従う独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $ […]
標本平均 $\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$ の定義
定義（標本平均） 独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $\cdots$, $X_n$ について, $\displaystyle \overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots […]