$(x+a)^3$ の展開の計算
$(x+a)^3$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(x+a)^3$ $= x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$ 証明. $(x+a)^3$ を $(x+a)(x+a)^2$ として実際に […]
$(a+b+c)^2$ の展開の計算
$(a+b+c)^2$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 解説. 置き換えを利用する $M= a+b$ と置 […]
標準偏差（確率変数）の定義
統計量である標準偏差 $\sigma[X]$ の定義を学んでみよう！ 定義（標準偏差 $\sigma[X]$） $\sigma[X] = \sqrt{V[X]}$ なお, 確率変数 $X$ の分散を $V[X]$ とする […]
分散の定義（離散型確率変数）
離散的な場合で, 統計量である分散 $V[X]$ の定義を学んでみよう！ 定義 次の $V[X]$ を離散的な確率変数 $X$ の分散という:$$V[X] = (x_1-\mu)^2p_1 + \cdots + (x_n […]
離散的確率分布・確率変数の定義
離散的な確率分布 $S$ と確率変数 $X$ の定義を学んでみよう！ 定義 確率分布 $S$ は起こりうる値とその確率をセットにしたものである。 $1 \leqq i \leqq n$ とする。離散的な確率分布は, 起こ […]
$a^n+b^n+c^n$ の変形【3変数の対称式の漸化式】
式の変形 $a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ $= (a+b+c)(a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2})$ $- (ab+bc+ca)(a^{n+1} + b^{n+1} + […]
点と直線の距離の公式の証明【正射影ベクトルの利用】
公式（点と直線の距離） 点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ と直線 $\ell: ax+by+c=0$ の距離 $d$ は次の通り: $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt […]
$(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることの証明【数学的帰納法】
任意の自然数 $n$ について, $\displaystyle (1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることを数学的帰納法で証明してみよう。 命題 $x \in \mathbb{N […]
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ の部分分数分解の計算
部分分数分解 $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{( […]