フィボナッチ螺旋（らせん）の長さ
正方形で描けるフィボナッチ螺旋（黄金螺旋）の長さがフィボナッチ数列で表せることを示してみよう。 性質（フィボナッチ螺旋） $n$ 番目の正方形内に描かれる四分円弧の半径を $F_n$ とする。①と②の正方形の辺の長さは […]
フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$
フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの平方和が $F_nF_{n+1}$ であることを証明してみよう。 命題（フィボナッチ数列の平方和） フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ に対して， 任意の自然数 $n$ に […]
等比数列の和の公式【数学的帰納法】
等比数列の和 $\displaystyle a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ についての和の公式を数学的帰納法で証明してみよう。 公式（等比数列の和） 初項 $a$, 公比 $r$ ($r \neq […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ の証明【数学的帰納法】
$\displaystyle 1^3+2^3+\cdots +n^3$ が $\displaystyle \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ であることを数学的帰納法で証明してみよ […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】
$1^2+2^2+\cdots +n^2$ が $\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。 公式（自然数の2乗の和） $1$ から $n$ […]
ビネーの公式の導出（数学的帰納法）
フィボナッチ数列の漸化式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, $F_1=F_2=1$ からビネーの公式を数学的帰納法で導いてみよう。 ビネーの公式（フィボナッチ数列の一般項） フィボナッチ数列 $\{F […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
自然数の和 $\displaystyle 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。 公式（自然数の和） $1$ から […]
等比数列の和の公式のコツ
$r \neq 1$ のとき, 等比数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nr^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$ を使うときの計算テクニックを習得してみよう。 等比数列の […]