演繹
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ 以外をもてば循環する無限小数であること
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ 以外を持てば, 循環する無限小数であることを示してみよう。 命題 有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ […]
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ だけならば有限小数であること
既約分数の分母の素因数が $2$ と $5$ のみであれば, 有限小数であることを証明してみよう。 命題 有理数 $r>0$ の既約分数表示 $\displaystyle \frac{p}{q}$ の分母 $q$ の素因 […]
有理数が四則演算に関して閉じていること
有理数同士の四則演算の結果はすべて有理数であることを証明してみよう。 命題 有理数は四則演算に関して閉じている. 証明. $a$ と $b$ を有理数とする. このとき, ある整数 $m$ と $n$, $p$ と $q […]
標本平均の標準偏差について
母集団の標準偏差が $\sigma$ のとき, 標本平均の標準偏差は $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の標準偏差を $ […]
標本平均の分散について
母集団の分散が $\sigma^2$ のとき, 標本平均の分散は $\displaystyle \frac{\sigma^2}{n}$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の分散を $\sigma^2$ […]
標本平均の期待値について
母集団の期待値が $\mu$ のとき, 標本平均の期待値も $\mu$ になることを示してみよう。 命題 母集団分布 $D$ の期待値を $\mu$ とする. $D$ に従う独立な確率変数 $X_1$, $X_2$, $ […]
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の $\mu \pm n \sigma$ での面積について
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ において, $\mu \pm \sigma$ での確率が約 $68\%$, $\mu \pm 2\sigma$ での確率が約 $95\%$, $\mu \pm 3\sigm […]
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数の一次変換の再生性
確率変数 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ を $Y=aX+b$ と変形すると, $Y \sim N(a \mu + b, (a\sigma)^2)$ であることを確かめてみよう。 命題 $a, b \ […]
正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の分散が $\sigma^2$ であることの証明
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の分散が $\sigma^2$ であることを確かめてみよう。 命題 正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, $V[X] = \s […]
正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ の期待値が $\mu$ であることの証明
正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の期待値が $\mu$ であることを確かめてみよう。 命題 正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数 $X$ について, $E[X] = \mu$ が […]