演繹
フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$
フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの平方和が $F_nF_{n+1}$ であることを証明してみよう。 命題（フィボナッチ数列の平方和） フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ に対して， 任意の自然数 $n$ に […]
等比数列の和の公式【数学的帰納法】
等比数列の和 $\displaystyle a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ についての和の公式を数学的帰納法で証明してみよう。 公式（等比数列の和） 初項 $a$, 公比 $r$ ($r \neq […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ の証明【数学的帰納法】
$\displaystyle 1^3+2^3+\cdots +n^3$ が $\displaystyle \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ であることを数学的帰納法で証明してみよ […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】
$1^2+2^2+\cdots +n^2$ が $\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。 公式（自然数の2乗の和） $1$ から $n$ […]
ビネーの公式の導出（数学的帰納法）
フィボナッチ数列の漸化式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, $F_1=F_2=1$ からビネーの公式を数学的帰納法で導いてみよう。 ビネーの公式（フィボナッチ数列の一般項） フィボナッチ数列 $\{F […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
自然数の和 $\displaystyle 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。 公式（自然数の和） $1$ から […]
等比数列の和の公式のコツ
$r \neq 1$ のとき, 等比数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nr^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$ を使うときの計算テクニックを習得してみよう。 等比数列の […]
フィボナッチ数列の偶数番号の和 $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$
偶数番号のフィボナッチ数の和 $F_2 + F_4 + \cdots + F_{2n}$ が $F_{2n+1}-1$ であることを証明してみよう。 公式（フィボナッチ数列の偶数項の和） フィボナッチ数列 $\{F_n\ […]
フィボナッチ数列の奇数番号の和 $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$
奇数番号のフィボナッチ数の和 $ F_1 + F_3 + F_5 + \cdots + F_{2n-1}$ が $F_{2n}$ であることを証明してみよう。 公式（フィボナッチ数列の奇数項の和） フィボナッチ数列 $\ […]