演繹
階比数列から元の数列の一般項を求める式 $\displaystyle a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k$ の証明
階比数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。 階比数列から元の数列の導出 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の初項が $a_1$ であり, 階比数列が […]
数列の和から元の数列の関係式 $a_n = S_{n}-S_{n-1}$, $S_1=a_1$ の証明
数列 $\{ a_n \}$ とその和 $S_n$ の関係式を理解してみよう。 公式 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の和を $ S_n$ とする. $a_1=S_1$ であり, $n \geq 2$ のとき, $ […]
階差数列の和について
階差数列 $\{ b_n \}$ の和は元の数列 $\{ a_n \}$ で簡単に書けることを示してみよう。 命題 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の階差数列を $\{ b_n \}_{n}$ とする. 階差数列の […]
階差数列から元の数列の一般項を求める式 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$ の証明
階差数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。 階差数列から元の数列の導出 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の初項が $a_1$ であり, 階差数列が […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^4$ の公式の証明【二項定理の利用】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 = 1^4+2^4+\cdots +n^4$ の公式を二項定理を使って証明してみよう。 公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^4 […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【二項定理の利用】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを二項定理を使って証明してみよう。 公式 $ […]
定数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nc=nc$ の証明
定数 $c$ の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n c = c+c+\cdots +c$ が $nc$ であることを証明してみよう。 公式 $c$ を定数とする. このとき, $\displays […]
数列の和の記号の線形性の証明
数列の和の記号 $\displaystyle \sum_{k=1}^n$ に関する線形性を証明してみよう。 命題 数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$, 定数 $p$ と $q$ について, $\displa […]
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $= {}_n\mathrm{C}_{r}$ $+ {}_n\mathrm{C}_{r+1}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}$ $= {}_n\mathrm{C}_{r}$ $+ {}_n\mathrm{C}_{r+1}$ を証明してみよう。 公式 $n \geq 0$, […]
組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ の証明
組合せに関する公式 ${}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ を証明してみよう。 公式 $n \geq 0$, $0 \leq r \leq n$ のとき, ${}_n\math […]