演繹
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の一般項を求める
$x>0$ のとき, 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{x}{a_n} \right)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一 […]
正射影ベクトルの公式
公式（正射影ベクトル） 正射影ベクトルは $$\left( \vec{b} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \fra […]
ベクトルの外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ の成分表示
成分表示（内積） $\vec{a}=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right)$ と $\vec{b}=\left(\begin{align […]
フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$
公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$$ フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの平方和が $F_nF_{n+1}$ であ […]
等比数列の和の公式【数学的帰納法】
公式 $$\sum_{k=1}^n ar^{k-1}= \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$ ただし, $r\neq1$ とする. 等比数列の和 $\sum_{k=1}^n ar^{k-1} =a + ar + […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ の証明【数学的帰納法】
公式 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = 1 […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】
公式 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+\cdo […]
ビネーの公式の導出（数学的帰納法）
ビネーの公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について, $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \lef […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
公式 $$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2}n(n+1)$$ $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\dis […]
等比数列の和の公式のコツ
等比数列の公式のコツ ①末項の調整 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\square} r^{k-1} = \frac{r^\square-1}{r-1}$ ②初項の調整 $\displaystyle […]