演繹
$1$, $2$, $2^2$, $\cdots$, $2^{n-1}$ を使って $1$ から $2^{n}-1$ までの自然数をすべて作れること【数学的帰納法】
$1$ から $2^{n}-1$ までのすべての自然数は, $1$, $2$, $2^2$, $\cdots$, $2^{n-1}$ の数を使い, それらの数の和として表せることを数学的帰納法で証明してみよう。 命題 任 […]
フィボナッチ数列の比の極限が黄金比であることの証明
フィボナッチ数列の比の極限が黄金比 $\displaystyle \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ $\fallingdotseq 1.618$ に収束することを証明してみよう。 命題 フィボ […]
ド・モルガンの法則の証明
ド・モルガンの法則を証明してみよう。 命題（ド・モルガンの法則） 集合 $A$ と $B$ について, $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ $\o […]
数列の和 $S_n$ を含む漸化式の一般項を求める
数列 $\{a_n\}$ とその和 $S_n$ を含む漸化式から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。 基本の解法 数列 $\{a_n\}$ とその和 $S_n$ を含む漸化式については, 関係式 $ […]
トーラスの方程式 $(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$ の証明
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。 方程式 $R > r > 0$ とする. このとき, トーラスの方程式は $(\sqrt{x^2+y^2}- R)^2 + z^2 = r^2$ である. 証明. トーラスの […]
トーラスの媒介変数表示の式
トーラスの媒介変数表示の式を理解してみよう。 媒介変数表示 $R>r > 0$, $0 \leq \theta, \varphi < 2 \pi$ とすると, 次の式はトーラスを表す: $\left\{\begin […]
階比数列から元の数列の一般項を求める式 $\displaystyle a_n = a_1 \times \prod_{k=1}^{n-1} b_k$ の証明
階比数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。 階比数列から元の数列の導出 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の初項が $a_1$ であり, 階比数列が […]
数列の和から元の数列の関係式 $a_n = S_{n}-S_{n-1}$, $S_1=a_1$ の証明
数列 $\{ a_n \}$ とその和 $S_n$ の関係式を理解してみよう。 公式 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の和を $ S_n$ とする. $a_1=S_1$ であり, $n \geq 2$ のとき, $ […]
階差数列の和について
階差数列 $\{ b_n \}$ の和は元の数列 $\{ a_n \}$ で簡単に書けることを示してみよう。 命題 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の階差数列を $\{ b_n \}_{n}$ とする. 階差数列の […]
階差数列から元の数列の一般項を求める式 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$ の証明
階差数列 $\{ b_n \}$ から元の数列 $\{ a_n \}$ の一般項を求める式を理解してみよう。 階差数列から元の数列の導出 数列 $\{ a_n \}_{n}$ の初項が $a_1$ であり, 階差数列が […]