演繹
フィボナッチ数列の偶数番号の和 $F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$
公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_2 + F_4 + \ldots + F_{2n} = F_{2n+1}-1$$ 偶数番号のフィボナッチ数の和が $F_{2n+1}-1$ であることを証明し […]
フィボナッチ数列の奇数番号の和 $F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$
公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_1 + F_3 + \ldots + F_{2n-1} = F_{2n}$$ 奇数番号のフィボナッチ数の和が $F_{2n}$ であることを証明してみよう。 […]
フィボナッチ数列の和の公式 $F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2}-1$
公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_1 + \ldots + F_n = F_{n+2} -1$$ フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの和が $F_{n+2}-1$ であることを証明し […]
二項分布の分散・標準偏差の公式の証明
二項分布の分散・標準偏差 $X \sim B(n,p)$ ならば $V[X] = np(1-p)$ であり, $\sigma[X] = \sqrt{np(1-p)}$ である。 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 […]
二項分布の期待値 $E[X] = np$ の証明
公式 $X \sim B(n,p)$ のとき, $E[X] = np$ である。 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = np$ であることを証明してみよう。 例えば, 二項分布 […]
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【一次式の利用】
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。 例えば, 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の場合, 一般 […]
ベルヌーイ分布の分散・標準偏差の公式の証明
ベルヌーイ分布の分散・標準偏差 $X \sim B(1,p)$ ならば $V[X] = p(1-p)$ であり, $\sigma[X] = \sqrt{X(1-p)}$ である。 ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う […]
ベルヌーイ分布の期待値の公式の証明
ベルヌーイ分布の期待値 $X \sim B(1,p)$ ならば $E[X] = p$ である。 ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = p$ であることを証明してみよう。 例 […]
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ の一般項を求める【階差数列の利用】
漸化式 $a_{n+1} = ra_n + (pn+q)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。 例えば, 漸化式 $a_{n+1} = 3a_n +4n$, $a_1 = 1$ の場合, 一般 […]