演繹
$(x+y+z)^n$ の展開の計算
$(x+y+z)^n$ の展開の式を理解してみよう。 展開式の各項の係数 $(x+y+z)^n$ の展開式において, $x^py^qz^r$ の係数は $\displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}$ […]
$(x+y)^n$ の展開の計算（二項定理）
二項定理と呼ばれる $(x+y)^n$ の展開を理解してみよう。 二項定理 $\displaystyle (x+y)^n$ $=x^n$ $+ {}_n \mathrm{C}_1 x^{n-1}y$ $+ {}_n \m […]
$(x-a)(x^2+ax+a^2)$ の展開の計算
$(x-a)(x^2+ax+a^2)$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(x-a)(x^2+ax+a^2)$ $= x^3 - a^3$ 証明. $(x-a)(x^2+ax+a^2)$ を実際に展開して計 […]
$(x+a)(x^2-ax+a^2)$ の展開の計算
$(x+a)(x^2-ax+a^2)$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(x+a)(x^2-ax+a^2)$ $= x^3 + a^3$ 証明. $(x+a)(x^2-ax+a^2)$ を実際に展開して計 […]
$(x-a)^3$ の展開の計算
$(x-a)^3$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(x-a)^3$ $= x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$ 証明. $(x+a)^3$ の展開公式を利用する. $(x+a)^3$ $ […]
$(x+a)^3$ の展開の計算
$(x+a)^3$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(x+a)^3$ $= x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$ 証明. $(x+a)^3$ を $(x+a)(x+a)^2$ として実際に […]
$(a+b+c)^2$ の展開の計算
$(a+b+c)^2$ の展開の公式を習得してみよう。 式の展開公式 $(a+b+c)^2$ $= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ 解説. 置き換えを利用する $M= a+b$ と置 […]
$a^n+b^n+c^n$ の変形【3変数の対称式の漸化式】
$a^{n+3} + b^{n+3} + c^{n+3}$ を変形する仕方を理解してみよう。 等式（3変数の対称式の漸化式） 任意の数 $a, b$ および自然数 $n$ について, 次の等式が成り立つ。 $$ \beg […]
点と直線の距離の公式の証明【正射影ベクトルの利用】
公式（点と直線の距離） 点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ と直線 $\ell: ax+by+c=0$ の距離 $d$ は次の通り: $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt […]
$(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることの証明【数学的帰納法】
任意の自然数 $n$ について, $\displaystyle (1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることを数学的帰納法で証明してみよう。 命題（共役な無理数の累乗の和） $x$ […]