演繹
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の一般項を求める
$x>0$ のとき, 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{x}{a_n} \right)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一 […]
正射影ベクトルの公式
公式（正射影ベクトル） 正射影ベクトルは $$\left( \vec{b} \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \right) \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \fra […]
ベクトルの外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ の成分表示
成分表示（内積） $\vec{a}=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right)$ と $\vec{b}=\left(\begin{align […]
フィボナッチ数列の平方和 $F_1^2 + \ldots + F_n^2 = F_nF_{n+1}$
フィボナッチ数列の初項から第 $n$ 項までの平方和が $F_nF_{n+1}$ であることを証明してみよう。 公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について $$F_1^2 + \ldots + F_n^2 = […]
等比数列の和の公式【数学的帰納法】
等比数列の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n ar^{k-1} =a + ar + \cdots + ar^{n-1}$ についての和の公式を数学的帰納法で証明してみよう。 公式 $a$ を定数と […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3=\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ の証明【数学的帰納法】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+\cdots +n^3$ が $\displaystyle \left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^2$ […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明【数学的帰納法】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+\cdots +n^2$ が $\displaystyle \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ であることを数学的帰納法で […]
ビネーの公式の導出（数学的帰納法）
フィボナッチ数列の漸化式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$, $F_1=F_2=1$ からビネーの公式を数学的帰納法で導いてみよう。 ビネーの公式 フィボナッチ数列 $\{F_n\}$ について, $$ […]
$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$ の証明【数学的帰納法】
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k = 1+2+\cdots +n$ が $\displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)$ であることを数学的帰納法で証明してみよう。 公式 $$ […]
等比数列の和の公式のコツ
$r \neq 1$ のとき, 等比数列の和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^nr^{k-1} = \frac{r^n-1}{r-1}$ を使うときの計算テクニックを習得してみよう。 等比数列の […]