演繹
$n \geqq 4$ のとき $2^n > n^2 - n +2$であることの証明【数学的帰納法】
$4$ 以上の任意の自然数 $n$ について, $2^n>n^2 - n +2$ が成り立つことを数学的帰納法で証明してみよう。 命題 $4$ 以上のすべての自然数 $n$ について, 次の不等式が成り立つ。 $$ 2^ […]
$3^n>4n(n \geqq 2)$ であることの証明【数学的帰納法】
$2$ 以上の任意の自然数 $n$ について, $3^n >4n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明してみよう。 命題 $2$ 以上のすべての自然数 $n$ について, $3^n > 4n$ が成り立つ。 数学的帰納法 […]
$5^n-1$ が4の倍数であることの証明【数学的帰納法】
任意の自然数 $n$ について, $5^n - 1$ が $4$ の倍数であることを数学的帰納法で証明してみよう。 命題 すべての自然数 $n$ について, $5^n - 1$ は $4$ の倍数である。 証明のポイント […]
2次関数のグラフが放物線の定義を満たすことの証明
性質（2次関数のグラフは放物線） 2次関数 $y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$ のグラフは放物線である. 放物線の焦点は $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, […]
点と平面の距離の公式の証明【法線ベクトル】
公式（点と平面の距離） 点 $\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $\alpha: ax+by+cz+d=0$ の距離 $h$ は $$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 […]
点と直線の距離の公式の証明【法線ベクトル】
公式（点と直線の距離） 点 $\mathrm{P}(x_0, y_0)$ と直線 $\ell: ax+by+c=0$ の距離 $d$ は $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+ […]
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の一般項を求める
$x>0$ のとき, 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{x}{a_n} \right)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を […]
正射影ベクトルの公式
正射影ベクトルの公式を定義に基づいて導出してみよう。 公式（正射影ベクトル） $\vec{a} \neq 0$ とする。ベクトル $\vec{b}$ のベクトル $\vec{a}$ への正射影ベクトル $\vec{b}_ […]
ベクトルの外積 $\vec{a}\times \vec{b}$ の成分表示
成分表示（内積） $\vec{a}=\left(\begin{aligned} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{aligned} \right)$ と $\vec{b}=\left(\begin{align […]