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三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から数列の一般項を導出する
2025-08-06

三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から一般項を導いてみよう。 漸化式から一般項を導く解法（特性方程式の利用） 漸化式 $$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$$ につい […]

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偶数の和の計算
2025-08-01

命題（偶数の和） $1$ から $n$ 番目の偶数 $2n$ までの和は $n(n+1)$ である。 $$2 + 4 + 6+ \cdots + 2n = n(n+1)$$ 例えば, $2$ から $10$ までの $5 […]

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同じものを含む順列について
2025-07-31

同じものを含む順列の総数を計算する式を求めてみよう。 命題 $n$ 個のうち, $s$ 個, $t$ 個, $\cdots$ ずつ同じものあるとする. これらすべてを並べる順列の総数は $\displaystyle \f […]

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重複順列について
2025-07-31

重複を許して（同じものを利用してもよい）並べる順列の総数を計算する式を求めてみよう。 命題 $n$ 種類のものを同じものの重複を許して $r$ 個並べる順列の総数は $n^r$ である. 理屈. 1つ目の選び方は $n$ […]

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円順列について
2025-07-31

円形に並べる順列の総数を計算する式を求めてみよう。 命題 $n$ 個のものから $r$ 個を選び円形に並べる順列の総数は $\displaystyle \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r}$ である. 特 […]

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ド・カステリョのアルゴリズム（ベジェ曲線）
2025-07-30

ド・カステリョのアルゴリズムと呼ばれるベジェ曲線のアルゴリズムを理解してみよう。 De Casteljau のアルゴリズム 平面内の点 $\mathbf{P}_{0,0}$, $\mathbf{P}_{1,0}$, $\ […]

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奇数の和の計算
2025-06-24

奇数の和を簡単に計算しよう。 奇数の和 $1$ から $n$ 番目の奇数 $2n-1$ までの和は $n^2$ である. $$1 + 3 + 5+ \cdots + (2n-1) = n^2$$ 理屈 奇数を次の図のよう […]

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平方根の近似（ニュートン法）
2025-06-22

平方根の近似 $c > 0$とする. $\sqrt{c}$ は次の漸化式で与えられる数列 $\{ a_n\}_n$ で近似できる. $$a_{n+1} =\frac{1}{2}\left(a_n + \frac{c […]

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俵杉山（たわらすぎざん）の計算
2025-06-21

俵杉山 米俵が何段かに積み上げられている。ある段の米俵の数はすぐ下の段の米俵の数よりも１つだけ少ないように積まれている。 奇数段に積み重ねられている場合, 真ん中の段に積まれている米俵の数は（すべての米俵の数）÷（段数） […]

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フィボナッチ螺旋（らせん）の長さ
2025-06-15

正方形で描けるフィボナッチ螺旋（黄金螺旋）の長さがフィボナッチ数列で表せることを示してみよう。 性質（フィボナッチ螺旋） $n$ 番目の正方形内に描かれる四分円弧の半径を $F_n$ とする。①と②の正方形の辺の長さは […]

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