三角比の相互関係の公式を計算するときの注意点リストを書きました。
三角比の相互関係の計算テクニック
三角比の相互関係の公式は、数学I（三角比）と数学Ⅱ（三角関数）の教科書を合わせると3回同じ式が出てきます。
(1) $\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ $\cdots$ ①
(2) $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $\cdots$ ②
(3) $\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ $\cdots$ ③
3つの相互関係の公式を計算するときの注意点整理します。
相互関係のどの公式をいつ使うのか？
相互関係の公式は、1つの三角比の値が分かっているときに、他の三角比の値を求めるために利用することが大きな役割です。
既知の三角比を１列目に、求めたい三角比を１行目に書きました。
| 求める値→ | $\sin A$ | $\cos A$ | $\tan A$ |
| $\sin A$ | × | まず①を使う | 次に②を使う |
| $\cos A$ | まず①を使う | × | 次に②を使う |
| $\tan A$ | 次に②を使う | まず③を使う | × |
他には、$\cos A$ が分かっているときに、$\tan A$ だけを求める必要があります。この場合は、③の公式だけを利用しましょう。
②の公式の便利な計算方法
相互関係の②の公式は、2つの形に変えられます。
$$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$$
特に、計算が苦手な方は、知っておいてください！
次の2つの式も同じ公式です。
$$\tan A = \sin A \div \cos A$$
$$\sin A = \tan A \times \cos A$$
$\tan A = \sin A \div \cos A$
公式の一つ目の変形パターンは、$\sin A$ と $\cos A$ から、 $\tan A$ を求める際に便利です。
公式の元の形のままでは、「分数ぶんの分数」になってしまうなることが多く、計算が苦手な人は間違えやすいです。
「分数 $ \div$ 分数」とすれば、後ろの分数をひっくり返して掛け算をすれば良いので、計算が容易になります。
$\sin A = \tan A \times \cos A$
公式の二つ目の変形パターンは、$\tan A$ と $\cos A$ から、$\sin A$ を求める際に便利です。
2つの三角比を掛けるだけで、$\sin A$ を求められるので考えやすいです。
③の公式の便利な計算方法
③の公式を利用するとき、$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 A}$ の計算は
$$\displaystyle 1 \div \cos^2 A$$
とすると、計算が苦手な方は比較的簡単に計算することができます！
$\cos A$ は分数である場合が多いので、分数/分数になると計算が大変なので、この方法で回避しましょう。
平方根をとるときの三角比の正負
角度 $\theta$ の存在範囲によって、$\sin^2 A$ から２乗を外して $\pm \sin A$ にしたとき、正負のどちらを選ぶかを決める必要があります。
次の表を参考にして、正負を決めてください。
| $A$ | $\sin A$ | $\cos A$ | $\tan A$ |
| $0^{\circ}<A<90^{\circ}$ （鋭角） | $+$ | $+$ | $+$ |
| $90^{\circ}<A<180^{\circ}$ （鈍角） | $+$ | $-$ | $-$ |
まとめ
三角比の相互関係の公式は、慣れると機械的に計算できます。
しかし、初めて学ぶときには、ややこしい表記や計算が混在しています。
学ぶ方も、教える方も忘れずにしないといけないことを整理しました。
