- 目次
- 理解
- まとめ
【理解】多変数の確率分布の解説
2変数以上の確率分布について
「同時確率分布」とは
２つの変数によって確率が決定する確率分布のこと。
| $Z$ | $y_1$ | $\cdots$ | $y_n$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1n}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_m$ | $p_{m1}$ | $\cdots$ | $p_{mn}$ | $p_m$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_n$ | $1$ |
<定義>同時確率分布
$$P(X=x_i, Y=y_j) = p_{ij}$$
詳細はこちら
<定義>確率変数の独立性
$$p_{ij} = p_iq_j$$
詳細はこちら
2つの離散的な確率変数 $X$ と $Y$ が独立であるとは, 同時確率分布における任意の $i, j$ について, $$p_{ij} = p_i q_j$$ が成り立つことをいう。
| $(X,Y)$ | $y_1$ | $\cdots$ | $y_n$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1n}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_m$ | $p_{m1}$ | $\cdots$ | $p_{mn}$ | $p_m$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_n$ | $1$ |
確率変数が独立であるとは, 2つの確率変数が互いに影響しあっていないことを言う.
| $\frac{2}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
| $\frac{4}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{2}{36}$ |
| $\frac{6}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{3}{36}$ |
| $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ |
| $\frac{2}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{6}{36}$ |
| $\frac{9}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{3}{36}$ |
確率変数の和と積の期待値と分散について
確率変数 $X+Y$ や $XY$ などは、２次元の確率分布から、１つの実数値を返す関数と理解します。
$X+Y$ の統計量
<公式> $X+Y$ の期待値
$$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$$
証明はこちら
<公式> $X+Y$ の分散
$$V[X+Y]=V[X]+V[Y]$$
※ $X$ と $Y$ が独立であるときのみ成立
証明はこちら
$XY$ の統計量
※ $X$ と $Y$ が独立であるときのみ成立する。
<公式> $XY$ の期待値
$$E[XY]=E[X]E[Y]$$
証明はこちら
これより, $$E[XY]^2=E[X]^2E[Y]^2$$ が成り立つ。ただし, $X$ と $X$ 同士は独立ではないから, $$E[X^2] = E[X]^2$$ は成り立たない。
<公式> $XY$ の分散
$V[XY]=V[X]V[Y]+V[X]E[Y]^2+E[X]^2V[Y]$
証明はこちら
※ $X$ と $Y$ が独立であれば, $X^2$ と$Y^2$ も独立である。
まとめノート
「同時確率分布」とは
２つの変数によって確率が決定する確率分布のこと。
定義
確率変数 $(X, Y)$ で確率を定める.
$P((X,Y)=(x_i, y_j)) = p_{ij}$
と表記する.
$p_i = p_{i1} + \cdots + p_{im}$
,
$q_j = q_{1j} + \cdots + q_{nj}$
である.
| ($X$,$Y$) | $y_1$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $\cdots$ | $p_{1m}$ | $p_1$ |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\ddots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}$ | $\cdots$ | $p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
定義
すべての $i$ と $j$ で
$p_i q_j = p_{ij}$
のとき，$X$ と $Y$ は独立という.
A. 確率変数の和と積の期待値
- $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$（いつでも成立）
- $E[XY] = E[X] E[Y]$（独立なとき成立）
B. 確率変数の和と積の分散（独立なとき）
- $V[X+Y] = V[X] + V[Y]$
- $V[XY]=V[X] V[Y] + E[X]^2 V[Y] + V[X] E[Y]^2$
ポイント解説
定義
$X$ と $Y$ は確率変数になる：
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| $P(X)$ | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
| $Y$ | $y_1$ | $\cdots$ | $y_m$ | 計 |
| $P(Y)$ | $q_1$ | $\cdots$ | $q_m$ | $1$ |
独立
確率分布に比例関係が観察できる.
※同じ確率変数 $X$ と $ X$ は独立でない.
A
次を計算することで導ける：
- $E[X+Y]=\sum_{i,j=1}^n (x_i+y_j)p_{ij}$
- $E[XY]=\sum_{i,j=1}^n (x_iy_j)p_{ij}$
B
次を計算することで導ける：
- $E[(X+Y)^2]-E[X+Y]^2$
- $E[(XY)^2]-E[XY]^2$
