三角比の公式整理ノート

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三角比の公式整理ノート
三角比が分かる
三角比を理解する
- 三角比の定義と意味について
- 余角・補角などの関係について
三角比の数値例を知る
- 有名角の三角比の値について
- $15^{\circ}$ と $18^{\circ}$ の倍角の三角比について
コンピュータで三角比を計算する

ノートの特徴

数学を勉強すると頭が混乱する人に公式を見やすく整理しました。

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三角比が分かる

「三角比」とは

角度に対応する量を三角形の辺の長さの比を使って表現した値のこと。

記号

角度 $\theta$ が鋭角のときは直角三角形で三角比を定義する。それ以外の場合は単位円によって三角比の定義を拡張する。

直角三角形による定義について

<定義①>正弦(sin)

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$

<定義①>余弦(cos)

$\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$

<定義①>正接(tan)

$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$

定義の詳細はこちら

定義（三角比）

$C = 90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\theta = \angle \mathrm{A}$ とする。

このとき,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\quad \displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{a}{b}$

をそれぞれ $\angle \mathrm{A}$ の正弦（sine）, 余弦（cosine）, 正接（tangent）という。

$a=1$, $b=1$, $c=\sqrt{2}$ である直角二等辺三角形では, $\angle A = 45^{\circ}$ であり,

$\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \tan 45^{\circ} = 1$

となる.

単位円による定義について

<定義②>正弦(sin)

$\displaystyle \sin \theta = y$

<定義②>余弦(cos)

$\displaystyle \cos \theta = x$

<定義②>正接(tan)

$\displaystyle \tan \theta = \frac{y}{x}$

詳細はこちら

定義：三角比（単位円による定義）

$0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}$ とする。 $xy$ 平面において, 原点 $\mathrm{O}$ を中心とする単位円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ が $\angle \mathrm{POX} = \theta$ を満たすとする。ただし, $\mathrm{X}(1, 0)$ とする。

このとき, 三角比を次のように定める。

$\displaystyle \sin \theta = y$, $\quad \cos \theta = x$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{y}{x}$

$\theta=135^{\circ}$ のとき, $\displaystyle \mathrm{P}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ とすれば,

$\angle \mathrm{POX} = 135^{\circ}$

です。したがって,

$\displaystyle \sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \tan 135^{\circ} = -1$

となります。

三角比の相互関係について

<公式>相互関係①

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

証明はこちら

三角比の相互関係の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。

公式（三角比の相互関係）

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ であるとき, $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ が成り立つ。

角 $C = 90^{\circ}$, $\angle A = \theta$ である直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 各辺の長さを $a, b, c$ とする。

Step 1三平方の定理の利用

直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 三平方の定理より次の等式が成り立つ。 $$ a^2 + b^2 = c^2 $$ この式の両辺を $c^2$ で割ると, $$ \left(\frac{a}{c} \right)^2 + \left(\frac{b}{c} \right)^2 = 1 $$ を得る。

Step 2三角比の定義の代入

正弦と余弦の定義より, $$ \sin \theta = \frac{a}{c}, \quad \cos \theta = \frac{b}{c} $$ である。これらを上の式に代入すると, $$ (\sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2 = 1 $$ となる。

§結論

ゆえに, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立つ。

$\theta = 30^{\circ}$ のときは, $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であり,

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$ $=1$

になります。

<公式>相互関係②

$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

証明はこちら

三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を, 直角三角形による定義から証明してみよう。

公式（三角比の相互関係）

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ であるとき, $$\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ が成り立つ。

角 $C = 90^{\circ}$, $\angle A = \theta$ である直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 各辺の長さを $a, b, c$ とする。

Step 1正弦と余弦の定義

三角比の定義より, $$ \sin \theta = \frac{a}{c}, \quad \cos \theta = \frac{b}{c} $$ が成り立つ。

Step 2比の計算

示すべき式の右辺を計算すると, $$ \begin{aligned} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} &= \sin \theta \div \cos \theta \\ &= \frac{a}{c} \div \frac{b}{c} \\ &= \frac{a}{c} \times \frac{c}{b} \\ &= \frac{a}{b} \end{aligned} $$ となる。

§結論

正接の定義は $\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$ であるため, 上の結果と一致する。ゆえに, $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ が成り立つ。

$\theta = 30^{\circ}$ のときは, $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$ $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり,

$\sin \theta \div \cos \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \div \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{3}}$

になります。

<公式>相互関係③

$\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

証明はこちら

三角比の相互関係の公式 $\displaystyle \tan^2 \theta +1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を証明してみよう。

公式（三角比の相互関係）

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ であるとき, 次の等式が成り立つ。 $$\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$$ が成り立つ。

次の2つの基本公式が成り立つことを前提とする。 $$ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \quad \cdots ① $$ $$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \quad \cdots ② $$

Step 1等式の変形

①の式の両辺を $\cos^2 \theta$ で割ると, 次のようになる。 $$ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$ 左辺の各項を整理すると, $$ \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$ が得られる。

Step 2公式の代入

ここで, ②の関係式 $\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ を上の式に代入する。 $$ (\tan \theta)^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$

§結論

ゆえに, $\displaystyle \tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ が成り立つ。

$\theta = 30^{\circ}$ のときは, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり,

$\tan^2 \theta +1$ $\displaystyle = \frac{1}{3} +1$ $\displaystyle =\frac{4}{3}$

である。一方で,

$1 \div \cos^2 \theta$ $\displaystyle = 1 \div \frac{\sqrt{3}}{4}$ $\displaystyle =\frac{4}{3}$

である。

三角比を理解する

三角比の定義と意味について

<定義①>正弦(sin)

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$

<定義①>余弦(cos)

$\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$

<定義①>正接(tan)

$\displaystyle \tan \theta = \frac{a}{b}$

<定義①>余接(cot)

$\displaystyle \cot \theta = \frac{b}{a}$

<定義①>正割(sec)

$\displaystyle \sec \theta = \frac{c}{b}$

<定義①>余割(csc)

$\displaystyle \csc \theta = \frac{c}{a}$

各三角比の正式名称・co(余)の意味

定義（三角比）

$C = 90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, $\theta = \angle \mathrm{BAC}$ とする。

次の比の値をそれぞれ $\angle \mathrm{A}$ の正弦, 余弦, 正接という。

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \quad \cos \theta = \frac{b}{c}$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{a}{b}$

また, 次の比の値をそれぞれ $\angle \mathrm{A}$ の正割, 余割, 余接という。

$\displaystyle \sec \theta = \frac{c}{b}$, $\displaystyle \quad \csc \theta = \frac{c}{a}$, $\displaystyle \quad \cot \theta = \frac{b}{a}$

$a=1$, $b=1$, $c=\sqrt{2}$ である直角二等辺三角形では, $\angle A = 45^{\circ}$ であり,

$\displaystyle \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\displaystyle \tan 45^{\circ} = 1$, $\displaystyle \sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \csc 45^{\circ} = \sqrt{2}$, $\displaystyle \cot 45^{\circ} = 1$

となる.

$\sin$ $\cdots$ sine

$\cos$ $\cdots$ cosin

$\tan$ $\cdots$ tangent

$\sec$ $\cdots$ secant

$\csc$ $\cdots$ cosecant

$\cot$ $\cdots$ cotangent

co(余)とは余角 $90^{\circ}-\theta$ に関して同様の定義を定めるもので, 次の図で $\sin(90^{\circ}-\theta)$, $\tan(90^{\circ}-\theta)$, $\sec(90^{\circ}-\theta)$ を定めたものが $\cos \theta$, $\cot \theta$, $\csc \theta$ になっている.

三角比の意味

三角比の意味（メモ程度）
※正弦 $\sin$ と正接 $\tan$ の意味

三角比の値は（単位）円を計量するパーツと考えると意味が分かる。

サイン（正弦）は, 中心角が $2\theta$ のおうぎ形に対応する円の弦の長さ（の半分）に対応する。

コサイン（余弦）は, この余角( $90^{\circ}-\theta$ )のサイン（弦の長さ）の値を決める役割をしている。

タンジェント（正接）は, 接線の長さに対応する。

<覚え方>三角比のダンス

<性質>相関関係との関係

データの相関係数 $r$ は $\cos \theta$ と解釈できる

証明はこちら

相関係数 $r$ が, データから定義される2つのベクトルのなす角 $\theta$ に関する $\cos \theta$ であることを理解してみよう。

相関係数と cos の関係

データ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$ について， $x$ の平均を $\bar{x}$， $y$ の平均を $\bar{y}$ とする。次の2つの $n$ 次元ベクトルを考える： $$ \begin{aligned} \vec{x}&=(x_1-\bar{x},\,x_2-\bar{x},\,\ldots,\,x_n-\bar{x}), \\ \vec{y}&=(y_1-\bar{y},\,y_2-\bar{y},\,\ldots,\,y_n-\bar{y}). \end{aligned} $$ 相関係数 $r$ について $$r=\cos\theta$$ が成り立つ。ここで, $\theta$ は $n$ 次元空間におけるベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角である。

※ $n$ 次元ベクトル $\vec{a},\vec{b}$ の内積は, $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta$ と定める。

§内積を計算

ベクトル $\vec{x}$ と $\vec{y}$ について, 内積の定義より, $$ \cos\theta =\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{|\vec{x}|\,|\vec{y}|} =\frac{\displaystyle \frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}} {\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}|\right) \left(\frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}|\right)} $$ と変形できる。

§分子を計算

この式の分子 $\frac{1}{n}\vec{x}\cdot\vec{y}$ は, $$ \frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\cdots+(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})}{n} $$ であり, これはデータ $x$ と $y$ の共分散である。

§分母を計算

また, 分母について, $$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{x}| &=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}, \\ \frac{1}{\sqrt{n}}|\vec{y}| &=\sqrt{\frac{(y_1-\bar{y})^2+\cdots+(y_n-\bar{y})^2}{n}} \end{aligned} $$ であり, それぞれデータ $x$，$y$ の標準偏差である。

§相関係数の定義を確認

共分散をそれぞれの標準偏差で割ったものが相関係数であるから， $$ r =\frac{\text{共分散}}{\text{標準偏差} \times \text{標準偏差}} =\cos\theta $$ が成り立つ。

§結論

ゆえに, データ $x$ と $y$ について, $r =\cos \theta$ が成立する.

例えば, $x=[1,3,2]$, $y=[1,2,3]$ ならば, $\vec{x}$ $=(-1,1,0)$, $\vec{y}$ $=(-1,0,1)$ です。

これらのベクトルの成す角度は $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ で, $$\cos \frac{\pi}{3} = 0.5$$ です。なお, 実際に相関係数も $r = 0.5$ です。

余角・補角などの関係について

<公式>余角の三角比

$$
\begin{aligned}
\sin (90^{\circ} - \theta) &= \cos \theta \\[5pt]
\cos (90^{\circ} - \theta) &= \sin \theta \\
\displaystyle \tan (90^{\circ} - \theta) &= \frac{1}{\tan \theta}
\end{aligned}
$$

証明はこちら

余角の三角比 $\sin(90^{\circ} - \theta)$, $\cos(90^{\circ} - \theta), \tan(90^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式（余角の三角比）

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ であるとき,

$\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$, $\quad \cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$, $\displaystyle \quad \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$

が成り立つ。

角 $C = 90^{\circ}$, $\angle A = \theta$ である直角三角形 $\mathrm{ABC}$ において, 各辺の長さを $a, b, c$ とする。このとき, 三角比の定義より次が成り立つ。

$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \quad \cos \theta = \frac{b}{c}$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{a}{b}$

Step 1余角 $90^{\circ} - \theta$ に注目

直角三角形の内角の和は $180^{\circ}$ であるから, $\angle B = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) = 90^{\circ} - \theta$ である。ここで, 頂点 $\mathrm{B}$ を基準として三角比を考えると,

次の結果を得る。

$\displaystyle \sin(90^{\circ} - \theta) = \frac{b}{c}$, $\displaystyle \quad \cos(90^{\circ} - \theta) = \frac{a}{c}$, $\displaystyle \quad \tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{b}{a}$

§結論

はじめに定義した $\theta$ の三角比と比較すると, $$\begin{aligned} \sin(90^{\circ} - \theta) & \displaystyle = \frac{b}{c} = \cos \theta \\ \cos(90^{\circ} - \theta) & \displaystyle = \frac{a}{c} = \sin \theta \\ \tan(90^{\circ} - \theta) & \displaystyle = \frac{b}{a} = \frac{1}{a/b} = \frac{1}{\tan \theta} \end{aligned}$$ となり, 公式が成り立つことが示された。

$\theta = 30^{\circ}$ のときは, $\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり,

余角 $90^{\circ}-\theta$ $=60^{\circ}$ の三角比は

$\sin(90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos (90^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$, $\tan (90^{\circ}-\theta)$ $ = \sqrt{3}$

になってます。

<公式> $90^{\circ} + \theta$ の三角比

$$
\begin{aligned}
\sin (90^{\circ} + \theta) &= \cos \theta \\[5pt]
\cos (90^{\circ} + \theta) &= -\sin \theta \\
\displaystyle \tan (90^{\circ} + \theta) & = -\frac{1}{\tan \theta}
\end{aligned}
$$

証明はこちら

三角比 $\sin(90^{\circ} + \theta)$, $\cos(90^{\circ} + \theta), \tan(90^{\circ} + \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式（ $90^{\circ} + \theta$ の三角比）

$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ であるとき, 次の等式が成り立つ。

$\sin(90^{\circ} + \theta) = \cos \theta$, $\quad \cos(90^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$, $\displaystyle \quad \tan(90^{\circ} + \theta) = -\frac{1}{\tan \theta}$

単位円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ について, $\angle \mathrm{POX} = \theta$ とすると, 三角比の定義より次が成り立つ。

$\sin \theta = y$, $\quad \cos \theta = x$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{y}{x}$

Step 1$90^{\circ}$ 回転による座標の変化

角 $90^{\circ} + \theta$ に対応する単位円上の点を $\mathrm{Q}$ とする。点 $\mathrm{P}(x, y)$ を原点 $\mathrm{O}$ を中心に $90^{\circ}$ だけ回転させると, 点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(-y, x)$ となる。

この点 $\mathrm{Q}$ の座標を用いて, $90^{\circ} + \theta$ の三角比を定義に従って求めると次のようになる。

$\displaystyle \sin(90^{\circ} + \theta) = x$, $\displaystyle \quad \cos(90^{\circ} + \theta) = -y$, $\displaystyle \quad \tan(90^{\circ} + \theta) = \frac{x}{-y}$

§結論

ゆえに, $$\begin{aligned} \sin(90^{\circ} + \theta) & = x = \cos \theta \\[5pt] \cos(90^{\circ} + \theta) &= -y = -\sin \theta \\[5pt] \tan(90^{\circ} + \theta) &= -\frac{x}{y} = -\frac{1}{\tan \theta} \end{aligned}$$ となり, 公式が成り立つことが示された。

$\theta = 30^{\circ}$ のときは,

$\displaystyle \sin \theta = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり,

$90^{\circ}+\theta$ $=120^{\circ}$ の三角比は

$\sin(90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$, $\cos (90^{\circ}+\theta)$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan (90^{\circ}+\theta)$ $ = -\sqrt{3}$

になってます。

<公式>補角の三角比

$$
\begin{aligned}
\sin (180^{\circ} - \theta) &= \sin \theta \\[5pt]
\cos (180^{\circ} - \theta) &= -\cos \theta \\[5pt]
\displaystyle \tan (180^{\circ} - \theta) &=- \tan \theta
\end{aligned}
$$

証明はこちら

$\theta$ の補角の三角比 $\sin(180^{\circ} - \theta)$, $\cos(180^{\circ} - \theta)$, $\tan(180^{\circ} - \theta)$ の公式を証明してみよう。

公式（補角の公式）

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ であるとき, 次の等式が成り立つ。

$\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$, $\quad \cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$, $\quad \tan(180^{\circ} - \theta) = -\tan \theta$

単位円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ について, $\angle \mathrm{POX} = \theta$ とすると, 三角比の定義より次が成り立つ。

$\sin \theta = y$, $\quad \cos \theta = x$, $\displaystyle \quad \tan \theta = \frac{y}{x}$

Step 1$y$ 軸対称による座標の変化

角 $180^{\circ} - \theta$ に対応する単位円上の点を $\mathrm{Q}$ とする。点 $\mathrm{P}(x, y)$ を $y$ 軸に関して対称移動させると, 点 $\mathrm{Q}$ の座標は $(-x, y)$ となる。

この点 $\mathrm{Q}$ の座標を用いて, $180^{\circ} - \theta$ の三角比を求めると次のようになる。

$\displaystyle \sin(180^{\circ} - \theta) = y$, $\displaystyle \quad \cos(180^{\circ} - \theta) = -x$, $\displaystyle \quad \tan(180^{\circ} - \theta) = \frac{y}{-x}$

§結論

ゆえに, $$\begin{aligned} \sin(180^{\circ} - \theta) &= y = \sin \theta \\[5pt] \cos(180^{\circ} - \theta) &= -x = -\cos \theta \\[5pt] \tan(180^{\circ} - \theta) & \displaystyle = -\frac{y}{x} = -\tan \theta \end{aligned}$$ となり, 公式が成り立つことが示された。

$\theta = 150^{\circ}$ のときは,

$\sin \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$, $\cos \theta$ $\displaystyle = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan \theta$ $\displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

であり,

補角 $180^{\circ}-\theta$ $=30^{\circ}$ の三角比は

$\sin (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{2}$, $\cos (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan (180^{\circ}-\theta)$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}$

になってます。

三角比の数値例を知る

有名角の三角比の値について

$\theta$	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$135^{\circ}$	$150^{\circ}$	$180^{\circ}$
$\sin \theta$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$0$
$\cos \theta$	$1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$0$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan \theta$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	×	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

$0^{\circ} \sim 90^{\circ}$ の三角比の値の表（小数第5位まで）

角度	弧度	sin	cos	tan
0°	0.00000	0.00000	1.00000	0.00000
1°	0.01745	0.01745	0.99985	0.01746
2°	0.03491	0.03490	0.99939	0.03492
3°	0.05236	0.05234	0.99863	0.05241
4°	0.06981	0.06976	0.99756	0.06993
5°	0.08727	0.08716	0.99619	0.08749
6°	0.10472	0.10453	0.99452	0.10510
7°	0.12217	0.12187	0.99255	0.12278
8°	0.13963	0.13917	0.99027	0.14054
9°	0.15708	0.15643	0.98769	0.15838
10°	0.17453	0.17365	0.98481	0.17633
11°	0.19199	0.19081	0.98163	0.19438
12°	0.20944	0.20791	0.97815	0.21256
13°	0.22689	0.22495	0.97437	0.23087
14°	0.24435	0.24192	0.97030	0.24933
15°	0.26180	0.25882	0.96593	0.26795
16°	0.27925	0.27564	0.96126	0.28675
17°	0.29671	0.29237	0.95630	0.30573
18°	0.31416	0.30902	0.95106	0.32492
19°	0.33161	0.32557	0.94552	0.34433
20°	0.34907	0.34202	0.93969	0.36397
21°	0.36652	0.35837	0.93358	0.38386
22°	0.38397	0.37461	0.92718	0.40403
23°	0.40143	0.39073	0.92050	0.42447
24°	0.41888	0.40674	0.91355	0.44523
25°	0.43633	0.42262	0.90631	0.46631
26°	0.45379	0.43837	0.89879	0.48773
27°	0.47124	0.45399	0.89101	0.50953
28°	0.48869	0.46947	0.88295	0.53171
29°	0.50615	0.48481	0.87462	0.55431
30°	0.52360	0.50000	0.86603	0.57735
31°	0.54105	0.51504	0.85717	0.60086
32°	0.55851	0.52992	0.84805	0.62487
33°	0.57596	0.54464	0.83867	0.64941
34°	0.59341	0.55919	0.82904	0.67451
35°	0.61087	0.57358	0.81915	0.70021
36°	0.62832	0.58779	0.80902	0.72654
37°	0.64577	0.60182	0.79864	0.75355
38°	0.66323	0.61566	0.78801	0.78129
39°	0.68068	0.62932	0.77715	0.80978
40°	0.69813	0.64279	0.76604	0.83910
41°	0.71558	0.65606	0.75471	0.86929
42°	0.73304	0.66913	0.74314	0.90040
43°	0.75049	0.68200	0.73135	0.93252
44°	0.76794	0.69466	0.71934	0.96569
45°	0.78540	0.70711	0.70711	1.00000
46°	0.80285	0.71934	0.69466	1.03553
47°	0.82030	0.73135	0.68200	1.07237
48°	0.83776	0.74314	0.66913	1.11061
49°	0.85521	0.75471	0.65606	1.15037
50°	0.87266	0.76604	0.64279	1.19175
51°	0.89012	0.77715	0.62932	1.23490
52°	0.90757	0.78801	0.61566	1.27994
53°	0.92502	0.79864	0.60182	1.32704
54°	0.94248	0.80902	0.58779	1.37638
55°	0.95993	0.81915	0.57358	1.42815
56°	0.97738	0.82904	0.55919	1.48256
57°	0.99484	0.83867	0.54464	1.53986
58°	1.01229	0.84805	0.52992	1.60033
59°	1.02974	0.85717	0.51504	1.66428
60°	1.04720	0.86603	0.50000	1.73205
61°	1.06465	0.87462	0.48481	1.80405
62°	1.08210	0.88295	0.46947	1.88073
63°	1.09956	0.89101	0.45399	1.96261
64°	1.11701	0.89879	0.43837	2.05030
65°	1.13446	0.90631	0.42262	2.14451
66°	1.15192	0.91355	0.40674	2.24604
67°	1.16937	0.92050	0.39073	2.35585
68°	1.18682	0.92718	0.37461	2.47509
69°	1.20428	0.93358	0.35837	2.60509
70°	1.22173	0.93969	0.34202	2.74748
71°	1.23918	0.94552	0.32557	2.90421
72°	1.25664	0.95106	0.30902	3.07768
73°	1.27409	0.95630	0.29237	3.27085
74°	1.29154	0.96126	0.27564	3.48741
75°	1.30900	0.96593	0.25882	3.73205
76°	1.32645	0.97030	0.24192	4.01078
77°	1.34390	0.97437	0.22495	4.33148
78°	1.36136	0.97815	0.20791	4.70463
79°	1.37881	0.98163	0.19081	5.14455
80°	1.39626	0.98481	0.17365	5.67128
81°	1.41372	0.98769	0.15643	6.31375
82°	1.43117	0.99027	0.13917	7.11537
83°	1.44862	0.99255	0.12187	8.14435
84°	1.46608	0.99452	0.10453	9.51436
85°	1.48353	0.99619	0.08716	11.43005
86°	1.50098	0.99756	0.06976	14.30067
87°	1.51844	0.99863	0.05234	19.08114
88°	1.53589	0.99939	0.03490	28.63625
89°	1.55334	0.99985	0.01745	57.28996
90°	1.57080	1.00000	0.00000

$30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$ の表

$\theta$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$\sin \theta$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \theta$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\tan \theta$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

$15^{\circ}$ と $18^{\circ}$ の倍角の三角比について

$\sin 15^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\tan 15^\circ$

$\displaystyle 2-\sqrt{3}$

$\sin 18^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos 18^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$

$\tan 18^\circ$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}$

$\sin 36^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

$\cos 36^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\tan 36^\circ$

$\displaystyle \sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\sin 54^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\cos 54^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

$\tan 54^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$

$\sin 72^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$

$\cos 72^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\tan 72^\circ$

$\displaystyle \sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\sin 75^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos 75^\circ$

$\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\tan 75^\circ$

$\displaystyle 2+\sqrt{3}$

コンピュータで三角比を計算する

［表計算］三角比の値

SIN()関数, COS()関数, TAN()関数で三角比の値を取得

詳細はこちら

三角比 $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値をスプレッドシート（表計算ソフト）で出力してみよう。

三角比の値の出力

$\sin$ はSIN()関数, $\cos$ はCOS()関数, $\tan$ はTAN()関数を利用して計算する。

引数には弧度(rad)で角度を入力する。度数法で $A$ 度を入力する場合は弧度に変換したPI()/180*AもしくはRADIAN(A)を引数に入力する。

表計算の方法. $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

①［A2］$30^{\circ}$ を弧度に変換して=PI()/180*30と入力する。

②［B2］$\sin 30^{\circ}$ の値を=SIN(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

③［C2］$\cos 30^{\circ}$ の値を=COS(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

④［D2］$\tan 30^{\circ}$ の値を=TAN(A2)と入力することで［A2］の弧度を参照して出力する。

■結果

［Python］三角比の値

NumPyやmathでsin()関数, cos()関数, tan()関数で三角比の値を取得

詳細はこちら

三角関数の値をPythonで計算してみよう。

三角関数の値(NumPy)

数値処理を行うためにnumpyモジュールをnpとして利用する。

np.sin(), np.cos(), np.tan()関数の引数に弧度(rad)を入力して, 三角関数の値を出力する。

弧度の入力にはnp.piで $\pi$ の値を取得する。

度数法で入力する場合は, np.radians()関数を利用して弧度に変換する。

Pythonコード入力例. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$ と $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

import numpy as np

a = np.pi/6
b = np.radians(30)

print(np.sin(a))
print(np.sin(b))
print(np.cos(b))
print(np.tan(b))

三角関数の値(math)

数学の関数を利用するためにmathモジュールを利用する。

math.sin(), math.cos(), math.tan()関数の引数に弧度(rad)を入力して, 三角関数の値を出力する。

弧度の入力にはmath.piで $\pi$ の値を取得する。

度数法で入力する場合は, math.radians()関数を利用して弧度に変換する。

Pythonコード入力例. $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6}$ と $\sin 30^{\circ}$, $\cos 30^{\circ}$, $\tan 30^{\circ}$ の値を出力する。

import math

a = math.pi/6
b = math.radians(30)

print(math.sin(a))
print(math.sin(b))
print(math.cos(b))
print(math.tan(b))

終わり

まとめノート

「三角比」とは

角度に対応する量を三角形の辺の長さの比を使って表現した値のこと。

鋭角の三角比

$C = 90^{\circ}$ の直角三角形 $\mathrm{ABC}$ について, 次で三角比を定義する：
正弦：$\displaystyle \sin \theta = \frac{a}{c}$, 余弦：$\displaystyle \cos \theta = \frac{b}{c}$, 正接：$\displaystyle \tan \theta = \frac{b}{a}$

A. 三角比の相互関係

① $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, ② $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$, ③ $\displaystyle 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

三角比の拡張

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の三角比は, $xy$ 平面の単位円上の点 $\mathrm{P}$ が $\angle \mathrm{POX} = \theta$ であるとして, $\sin \theta = y$, $\cos \theta = x$, $\tan \theta = y/x$ で定義する.

$\mathrm{O}(0,0)$, $\mathrm{X}(1,0)$ とする.

B. 余角と補角に関する三角比の関係

$\sin (90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$

$\cos (90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$

$\displaystyle \tan (90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{\tan \theta}$

$\sin (180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$

$\cos (180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$

$\displaystyle \tan (180^{\circ} - \theta) = -\tan \theta$

ポイント解説

三角比の意味

三角定規の直角三角形

$\theta$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$
$\sin \theta$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \theta$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan \theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

拡張

この定義では, $\theta$ が鋭角の場合の定義とも一致する.

残りの三角比

余割: $\csc \theta = c/a$

正割: $\sec \theta = c/b$

余接: $\cot \theta = a/b$

カテゴリー: 絵馬

タグ: 三角比

三角比の公式整理ノート