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単元のまとめ

等差数列

定義

等差数列は, 隣り同士の差がいつも等しい数列である.

記号

等差数列 $\{ a_n \}$ の初項 $a$,公差 $d$,末項 $\ell$ とする。

等差数列の一般項

$a_n = a +(n-1)d$

等差数列の和の公式

$\displaystyle S = \frac{1}{2}n(a+l)$
$\displaystyle S_n = \frac{1}{2}n \{ 2a+(n-1)d \}$

等差数列の漸化式

$a_{n+1} = a_n +d, \ a_1 = a$

$a$, $b$, $c$ がこの順で等差数列であるとき,

等差中項の関係がある: $$2b = a+c$$

計算

例:$1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $\cdots$

$a_n = 2n-1$

$S_n=n^2$

$a_{n+1} = a_n + 2$

等差数列の理解

モチベーション

等差数列の諸々の公式の成り立ちを知りたいな!

  • 等差数列の性質(等差中項)
  • 等差数列の漸化式
  • 等差数列の一般項
  • 等差数列の和

等差数列の性質

3つの数字で $a$, $b$, $c$ の隣り同士の差が等しいとき,

$$c - b = b -a$$

と表すことができます。この式は,$2b = a+c$ と同値です。

性質(等差中項).

$a$, $b$, $c$ が等差数列である $\Longleftrightarrow$ $2b = a+c$.

等差数列の漸化式

3つ以上続く数列

$$a_1, \ a_2 , \ a_3, \ , \cdots$$

について隣同士の差が常に等しいことは,$d$ を使って

$$a_{n+1} - a_n = d$$

と表すことができます。(この $d$ を公差とよぶ。)

漸化式.

等差数列 $\{ a_n \}$ とは,任意の $n \geq 1$ について,$a_{n+1} - a_n = d$ を満たす数列である。

等差数列の一般項

さて,等差数列の一般項を数式で表しましょう。

植木算の考え方を使えば,第 $n$ 項 $a_n$ は,初項 $a_1$ に 公差を $(n-1)$ 回加えれば良いので,

$$a_n = a_1 +(n-1)d$$

になります。

もしくは,漸化式の各段階を足し合わせることでも同じ式が導出できます。

$$\begin{array}{rrrrrc}
&a_n & - & a_{n-1} & = & d\\
&a_{n-1} & - & a_{n-2} & = & d \\
& &\vdots & & & \vdots \\
&a_3 & - & a_2 & = & d \\
+\large{)}&a_2& - & a_1 & = & d \\ \hline
& a_n & - & a_1 & = & (n-1)d
\end{array}$$

一般項(等差数列).

$$a_n = a_1 + (n-1)d.$$

等差数列の和の公式

等差数列を初項から最後の項まで足した和を $S$ とします。

初項を $a$,末項を $\ell$ とします。

$$
\begin{array}{rrrcccccc}
& S & = & a_1 &+& a_2 &+ \cdots +& a_{n-1} &+& a_n \\
+\large{)} & S & = & a_n &+& a_{n-1} &+ \cdots +& a_2 &+& a_1 \\
\hline
& 2S & = & a + \ell & a + \ell & + & \cdots & + & a + \ell & a + \ell
\end{array}
$$

この筆算の結果を集計すると,和の公式を得ます。

また,$\ell = a +(n-1)d$ なので, 下の式も成り立ちます。

和の公式(等差数列).

$$S = \frac{1}{2}n(a+l)$$

$$S_n = \frac{1}{2}n \{ 2a+(n-1)d \}$$

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