- 目次
- 絵描き
- 理解
- まとめ
- センス
【絵描き】実際にベジェ曲線を使う技法
ベジェ曲線ついて
ベクター形式とは
【ベクター形式】画像やコンピュータグラフィックを、座標や数学的な計算による図形として表現する方式のこと。
（画像形式の例）PDF, SVG, EPSなど
ベジェ曲線はベクター形式の代表的な手法である。
【発案者】ベジェ曲線の成り立ち
この曲線の理論は、フランス自動車メーカーのド・カステリョとピエール・ベジェが独立に考案しました。
1900年の真ん中ごろのお話です。
ベジェ曲線のパーツ
（アンカーポイント・ハンドル・セグメント）
【絵描き】Illustratorのベジェ曲線を使おう
【ペンツール機能】線分を描く
【ペンツール機能】カーブを描く
【理解】ベジェ曲線の数学的解説
ベジェ曲線の数式について
ベジェ曲線の定義
$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$
ド・カステリョのアルゴリズム
$\mathbf{P}_{i, j}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{i, j-1}(t) + t \mathbf{P}_{i+1, j-1}(t)$, $1 \leqq j \leqq n$, $0 \leqq i \leqq n-j$
De Casteljauのアルゴリズムの直感的説明
ベジェ曲線が描かれる仕組み（アルゴリズム）を紹介します。
ベジェ曲線の数式の直感的に理解する
ベジェ曲線の定義
定義
平面内の点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\ldots$ , $\mathbf{P}_n$ と $0 \leqq t \leqq 1$ について，次の式で表される曲線を $n$次ベジェ曲線という。
$$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$$
３次ベジェ曲線で説明をします。４点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\mathbf{P}_2$, $\mathbf{P}_3$ が制御点に該当します。
ドカステリョのアルゴリズムを数式で表して、ベジェ曲線の方程式を求めます。
ド・カステリョのアルゴリズム
まず、ベジェ曲線が描かれるアルゴリズムの直感的な理解をします。
①制御点の順番を決める
次のベジェ曲線を考えます。アンカーポイントは $\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_3$ が該当します。
制御点の順番を $\mathbf{P}_0$→$\mathbf{P}_1$→$\mathbf{P}_{2}$→$\mathbf{P}_3$ とします。
②同じ比に内分する点の作図
隣り合う制御点を $m:n$ に内分する点を作図します。
今回は、３つの点ができます。
③同じ比に内分する点の作図
いまできた３点について，さらに隣り合う点同士を，また $m:n$ に内分する点を作図します。
今回は、２つの点ができます。
④同じ比に内分する点の作図
いまできた２点について，さらに隣り合う点同士を，また $m:n$ に内分する点を作図します。
この作業を繰り返した結果、１点だけになりました。
この最後の点がベジェ曲線上の点と一致します。
⑤他の点も作図
他の比でも同じ作業をしていって、たくさん点を作ったら、その集まりがベジェ曲線になります。
$m:n = 1:0$ のとき、はじめのアンカーポイントの $\mathrm{P}_0$ です。
$m:n = 0:1$ のとき、ゴールのアンカーポイントの $\mathrm{P}_1$ です。
ベジェ曲線の数学の理解
先の直感的な作図に照らし合わせて、ベジェ曲線の定義式を作っていきましょう。
①図と式を対応させる
$\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_3$ がベジェ曲線の端点（アンカーポイント）になるべき点です。
イラストレータでは、線分 $\mathbf{P}_0 \mathbf{P}_1$ と $\mathbf{P}_3 \mathbf{P}_2$ がハンドルと対応する。
②制御点を結ぶ線分の内分点をつくる
$\mathbf{P}_0$→$\mathbf{P}_1$ と $\mathbf{P}_1$→$\mathbf{P}_2$， $\mathbf{P}_2$→$\mathbf{P}_3$ の間をそれぞれ $m: n = t : 1-t$ に内分する点を $\mathbf{P}_{1,0}(t)$， $\mathbf{P}_{1,1}(t)$，$\mathbf{P}_{1,2}(t)$ とします：
- $\mathbf{P}_{1,0}(t) = (1-t) \mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1$
- $\mathbf{P}_{1,1}(t) = (1-t) \mathbf{P}_1 + t\mathbf{P}_2$
- $\mathbf{P}_{1,2} (t)= (1-t) \mathbf{P}_{2} + t\mathbf{P}_3$
③更に内分点をつくる
いまできた点について，$\mathbf{P}_{1,0}$→$\mathbf{P}_{1,1}$ と $\mathbf{P}_{1,1}$→$\mathbf{P}_{1,2}$ の間をそれぞれ，また $m: n = t : 1-t$ に内分する点を $\mathbf{P}_{2,0}(t), \mathbf{P}_{2,1}(t)$ とします：
- $\mathbf{P}_{2,0}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{1,0} + t\mathbf{P}_{1,1}$
- $\mathbf{P}_{2,1}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{1,1} + t\mathbf{P}_{1,2}$
④もういちど繰り返す
さらに，点$\mathbf{P}_{2,0}(t)$ → $\mathbf{P}_{2,1}(t)$ の間を結んで，また，$m: n = t : 1-t$ に内分する点 $\mathbf{P}(t)$ を決める：
- $\mathbf{P}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{2,0} + t\mathbf{P}_{2,1}$
⑤式を整理する
点 $\mathbf{P}_{2,0}(t)$ と $\mathbf{P}_{2,1}(t)$ は，今までの式を組み合わせると，初めの制御点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\mathbf{P}_2$, $\mathbf{P}_3$ で表すことができる。$\mathbf{P}(t)$ をはじめの制御点で表すと，
$\mathbf{P}(t) = (1-t) \mathbf{P}_{2,0} + t\mathbf{P}_{2,1}$
$= (1-t)^3 \mathbf{P}_0$ $+3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1$ $+3(1-t) t^2 \mathbf{P}_2$ $+ t^3 \mathbf{P}_3$
$\displaystyle = \sum_{k=0}^{3} {}_3 \mathrm{C}_k \ (1-t)^{3-k} \ t^k \ \mathbf{P}_k$
となる。
実数 $t(0 \leqq 0 \leqq 1)$ を１つ決めて，内分比 $m:n=t:(1-t)$となるように作った点が $\mathrm{P}(t)$ であった。
$t$ を0から1に動かしたときの軌跡である方程式 $\mathrm{P}(t)$ が３次ベジェ曲線である。
⑥一般化する
以上により, 一般の $n$ 次ベジェ曲線の数式は次のとおりである：
$$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$$
ベジェ曲線の性質について
ベジェ曲線で描いた図は拡大縮小しても明瞭である
ベジェ曲線は有限個の制御点によってのみ定義される。したがって、拡大縮小をしても制御点の相対的な位置さえ変わらなければ、実際の画像は計算（アルゴリズム）によって補完される。
ゆえに、ベジェ曲線で描いた図は拡大縮小しても明瞭なままである。
これはベクター形式の画像の特徴である。
$\mathbf{P}(t)$ $= (1-t)\mathbf{P}_{0}$ $+t\mathbf{P}_{1}$, $0 \leqq t \leqq 1$
（1次ベジェ曲線は線分である）
ベジェ曲線の接線方向は $\mathbf{P}_0$ では $\overrightarrow{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1}$, $\mathbf{P}_n$ では $\overrightarrow{\mathbf{P}_{n-1}\mathbf{P}_n}$
（ハンドルはアンカーポイントでの接線）
ベジェ曲線は、制御点が作る凸包内にある（準備中）
［系］アンカーポイント以外の制御点はベジェ曲線上の点ではない（準備中）
まとめノート
ベジェ曲線とは
直感的に描きやすく、コンピュータやイラストソフトで滑らかに描ける曲線のこと。
制御点
$n+1$ 個の点 $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$, $\ldots$ , $\mathbf{P}_n$ をとる.
A. $n$ 次ベジェ曲線
$t \in [0, \ 1]$ のときの $\mathbf{P}(t)$ が描く軌跡を $n$ 次ベジェ曲線という.
$\displaystyle \mathbf{P}(t) = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k} \ t^k \ \mathbf{P}_k$
B. ド・カステリョのアルゴリズム
$t \in [0, \ 1]$ とする. 下記の漸化式で定まる $\mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0^n(t)$ は $n$ 次ベジェ曲線と一致する. ただし, $k \in \{ 0,\ \cdots , \ n -i \}$ とする.
$$\mathbf{P}_k^i(t) = \left\{ \begin{array}{cl} \mathbf{P}_k, & i =0 \\
(1-t)\mathbf{P}_k^{i-1}(t) + t\mathbf{P}_{k+1}^{i-1}(t), & i \in \{ 1,\ \cdots , \ n\}
\end{array}\right.$$
C. ベジェ曲線の性質
- ハンドルはアンカーポイントの接線である
- アンカーポイント以外の制御点はベジェ曲線上の点ではない
- $1$次ベジェ曲線は, アンカーポイントを結ぶ線分を描く
ポイント解説
制御点
$\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_1$ は曲線の端点を決める
アンカーポイント
という. $\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1$と $\mathbf{P}_n\mathbf{P}_{n-1}$ は, 端点での曲線の接線方向と曲がり具合を決める
ハンドル
という.
B
制御点の間を $(1-t):t$ に内分する点を繰り返し取るアルゴリズム:
C
拡大縮小に最適（
ベクター形式
）
モチベーション
