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ドラゴン曲線を掴む🐉
$\mathbb{D}_0 = \{ 0 , \, 1 \}$ で, $\displaystyle f_1(z) = \frac{1 + i}{2}z$, $\displaystyle f_2(z) = 1 - \frac{1 - i}{2}z$ のとき, $$\mathbb{D}_{1} = f_1(\mathbb{D}_{0} ) \cup f_2( \mathbb{D}_{0} )$$ を求めよう。
単元のまとめ
ドラゴン曲線
話題
龍の形のフラクタル図形です。
定義
集合 $\mathbb{D}_{0} \subset \mathbb{C}$ と複素関数 $f_1$, $f_2$ について, 集合 $\mathbb{D}_{n} \subset \mathbb{C}$ を次のように帰納的に定義する. $$\mathbb{D}_{n} = f_1(\mathbb{D}_{n-1} ) \cup f_2( \mathbb{D}_{n-1} )$$ 極限集合 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \mathbb{D}_{n}$であって, 龍の形に見えるものをドラゴン曲線という.
ヘイウェイ・ドラゴン
初期集合 $\mathbb{D}_0 = \{ 0 , \, 1 \}$ と, 次の複素関数を使う.
$\displaystyle f_1(z) = \frac{1 + i}{2}z$, $\displaystyle f_2(z) = 1 - \frac{1 - i}{2}z$
ツイン・ドラゴン
初期集合 $\displaystyle \mathbb{D}_0 = \{ 0 , \, 1 , \, 1-i \}$ と, 次の複素関数を使う.
$\displaystyle f_1(z) = \frac{1 + i}{2}z$, $\displaystyle f_2(z) = 1 - \frac{1 + i}{2}z$.
計算
初期値の集合$\mathbb{D}_{0}$ と, 複素関数 $f_1$, $f_2$ によって, 曲線の形状が変わる。
イラスト
ヘイウェイ・ドラゴン
ドラゴン曲線のイラスト
ドラゴン曲線
第11世代のヘイウェイ・ドラゴンだよ。
白黒反転させてみたよ。
第21世代だよ。
おまけ
偶然、綺麗な銀河系みたいな図ができました🐲🐲。
ツイン・ドラゴンを遠くから見たイメージだよ。
ドラゴン曲線の理解
ドラゴン曲線の成長過程
第１世代
初めは２つの点と、１本の線分だけから始まります。
②第２世代
黄色の線分が（さっきの）第１世代の曲線です。
黒い線分が、第２世代の曲線です。
③第３世代
黄色の線分が（さっきの）第２世代の曲線です。
黒い線分が、新しい第３世代の曲線です。
第４世代
黒線部分が新しい第４世代のドラゴン曲線です。
第５世代
黒線部分が新しい第５世代のドラゴン曲線です。
第６世代
黒線部分が新しい第６世代のドラゴン曲線です。
こういった作業を繰り返して、ドラゴン曲線を成長させます。
ヘイウェイ・ドラゴンの描き方
前の世代の線分を２本に分けていきます。このとき、できあがった２本の線分は90度で交わるようにします。
２本の線分を作る向きがポイントで、前の世代の曲線に対して、左→右→左→右→・・・の順番で線分を増やしていきます。
第１世代→第２世代
第２世代→第３世代
第３世代→第４世代
この作業の繰り返しで、龍の形ができていくよ！
ドラゴン曲線のPythonコード
ヘイウェイ・ドラゴンのコード
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
#関数の定義
def doragon1(z1):
f1 = (1+1j)/2*z1
return f1
def doragon2(z2):
f2 = 1- (1-1j)/2*z2
return f2
# 世代
generation = 11
# 初期集合
doragon = {0, 1}
for i in range(generation-1):
new_pts = set()
# 反復計算
for z in doragon:
z1 = doragon1(z)
z2 = doragon2(z)
new_pts.add(z1)
new_pts.add(z2)
doragon = doragon.union(new_pts)
print(doragon)
# 実部と虚部の取得
real_values = [np.real(z) for z in doragon]
imag_values = [np.imag(z) for z in doragon]
# 複素数平面への図示
fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(real_values, imag_values, color='white', marker='*')
ax.axhline(0, color='white', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='white', linewidth=0.5)
# 背景色を白に設定
fig.patch.set_facecolor('white')
ax.set_facecolor('black')
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.xlabel('Real Axis')
plt.ylabel('Imaginary Axis')
plt.title('Doragon Curve')
plt.xlim([-0.4, 1.2]) # 横軸の範囲を設定
plt.ylim([-0.4, 0.75]) # 縦軸の範囲を設定
plt.show()問題集（エクササイズ）
高３期末試験《2023年2学期》
理屈っぽい性格のAと感覚的な性格のBと，楽観的な後輩中学生のCが，塾で受験勉強している。
A：ねーね，この絵を見てよ。何に見える？私は桜に見えるかな。
B：私は「竜です。」、竜に見えるよ♪
C：「ひき肉です。」
A：やっぱり勘がいいね。これは『ドラゴン曲線』って言うんだ。もっと詳しく言うと，この絵は『第13世代のドラゴン曲線』なんだ。
B：何それ？なんかカッコいいね！ドラゴンが成長してるってこと？
A：そうなんだ。この前，仕組みを勉強したから，教えるね。このドラゴン曲線は，はじめは２つの点からできてるんだ。複素数の $0$ と $1$ をスタートにして，$f_1$ と $f_2$ で全て変換した点達が次の世代のドラゴン曲線なんだよ。
$$f_1(z) = \frac{(1+i) \cdot z}{2}, \ \ f_2(z) = 1 - \frac{(1-i) \cdot z}{2}$$
B：この龍って、複素数の仕組みでできるんだー。不思議だ。フラクタルだな🎵
＊＊＊
自然数 $n \geqq 2$ について，集合 $\mathbf{D}_n$ を，
$$\mathbf{D}_n = \{ f_1(d) \mid d \in \mathbf{D}_{n-1} \} \cup \{ f_2(d) \mid d \in \mathbf{D}_{n-1} \}$$
と定義する。は第 $n$ 世代のドラゴン曲線を表す（複素数の）点の集合である。
［問１］第１世代のドラゴン曲線の点の集合を $\mathbf{D}_1 = \{ 0, 1 \}$ とする。第２世代のドラゴン曲線の点の集合 $\mathbf{D}_2$ を求めよ。つまり，
$$\mathbf{D}_2 = \{ f_1(0), f_1(1) \} \cup \{ f_2(0), f_2(1) \}$$
を求めよ。
［問２］第３世代のドラゴン曲線の点の集合を$\mathbf{D}_3$ とする。第３世代の点（集合の要素）であって，かつ，第２世代の点（集合の要素）ではない複素数をすべて答えよ。
［問３］ドラゴン曲線の世代を成長させていく操作（関数）である $f_1$ と $f_2$ の図形的な意味として不適切なものを次から２つ選び，記号で答えなさい。【完答】
- $f_1$ は $\mathbf{D}_{n-1}$ の点を，原点中心に45°回転させ，大きさを 1/2 に縮め，$\mathbf{D}_n$ を作る
- $f_1$ は $\mathbf{D}_{n-1}$ の点を，原点中心に-315°回転させ，大きさを $1 / \sqrt{2}$ に縮め，$\mathbf{D}_n$ を作る
- $f_2$ は $\mathbf{D}_{n-1}$ の点を，原点中心に-45°回転させ，大きさを縮小させ，原点で対称移動させ，実軸方向に＋１だけ平行移動して，$\mathbf{D}_n$ を作る
- $f_2$ は $\mathbf{D}_{n-1}$ の点を，原点中心に135°回転させ，大きさを縮小させ，実軸方向に＋１だけ平行移動して，$\mathbf{D}_n$ を作る
- $f_2$ は $\mathbf{D}_{n-1}$ の点について，大きさを縮小させ，実軸方向に＋１だけ平行移動をして，原点中心に-45°回転させて，$\mathbf{D}_n$ を作る
［問４］第４世代のドラゴン曲線の点の集合を $\mathbf{D}_4$ を複素数平面に表した図として，最も適切なものを①～④の中から１つ選べ。ただし，黒点が $\mathbf{D}_4$ の点を表す複素数である。
＊＊＊
B：このドラゴンに、名前をつけない？
A：良いアイデアだね。んーー。ヘイウェイ・ドラゴンって名前はどうかな。
B：かっこいい、名前だね。このドラゴンと一緒に遊んでみたいね。
A：もう１つ点を増やそうよ？例えば，$1-i$ っていう複素数を増やしみよう。
＊＊＊
［問５］複素数 $1-i$ について，変換 $f_1$（関数）を何度も繰り返す。つまり，$a_1 = 1-i$, $a_2 = f_2(a_1)$, $a_3 = f_1(a_2)$, $a_4 = f_1(a_3)$, ..., を考える。このとき，$a_1, a_2, a_3 \ldots$ は，実軸上に周期的に存在する。17回目に実軸上に存在するのは，第何世代のドラゴン曲線のときであるか答えよ。
＊＊＊
B：うわっ。ヘイウェイ・ドラゴンが２匹いるよ。
A：いま調べたけど，このフラクタル図形を「ツイン・ドラゴン」って言うんだね。
B：ほかにも、数学のカオスの世界には、「レヴィ・ドラゴン」「ゴールデン・ドラゴン」「テルドラゴン」と呼ばれる曲線がいるみたいだよ。
C：レビィ・ドラゴンは、画像の中心を原点とした複素数平面として $-i$ をかけると、筋肉モリモリみたいなイラストになるね💪
B：フラクタルは生物の多様性とも関係しそう？！たくさん勉強してみたいな🎵
A：「他人に促されなくても努力する人間が一番成長する」ってことだね！
B：ドラゴン桜みたいな台詞だね。
A・B・C：たくさん勉強やってるから、かならず合格できるね！
すごい！すごいです！