$(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることの証明【数学的帰納法】
命題
$x \in \mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N}$ のとき, $(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ は自然数となる.
任意の自然数 $n$ について, $\displaystyle (1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることを数学的帰納法で証明してみよう。
例えば, $\displaystyle (1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n$ について, $n=1$ のとき $2$, $n=2$ のとき $6$, $n=3$ のとき $14$ ですべて自然数になってます。
命題.
任意の自然数 $n$ について $(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることを数学的帰納法によって証明する.
便宜上, 次のように置く.
$$A_x(n) =(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$$
$A_x(1) =2$, $A_x(2) = 2(1+x)$ であり, それぞれ自然数である. したがって, $n=1, \ 2$ のときは主張は正しい.
$n = k \geqq 2$ とする. $n=1, \cdots, k$ において, $A_x(n)$ が自然数であると仮定する.
$n=k+1$ のときにも, $A_x(n)$ が自然数であることを示す. $A_x(k+1)$ について, 次のように変形する.
$$A_x(k+1) = 2A_x(k) + (x-1)A_x(k-1)$$
$a^{k+1} + b^{k+1}$ $=(a+b) (a^{k} + b^{k})- ab(a^{k-1} + b^{k-1})$
帰納法の仮定により $A_x(k)$, $A_x(k-1)$ は自然数である. また, $x-1$ は非負の整数であるため, $2A_x(k) + (x-1)A_x(k-1)$ は自然数であると言える.
よって, $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定すると, $n=k+1$ のときも不等式が成り立つことが示せた.
数学的帰納法により, 任意の自然数 $n$ について, $(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることが示せた.
