$(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ が自然数であることの証明【数学的帰納法】
$x$ を自然数とするとき, すべての自然数 $n$ について $$ (1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n $$ は自然数となる。
$A_x(n) = (1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ とおき, これがすべての自然数 $n$ について自然数であることを証明する。
$n=1$ のとき：
$A_x(1) = (1+\sqrt{x}) + (1-\sqrt{x}) = 2$ （自然数）
$n=2$ のとき：
$A_x(2) = (1+2\sqrt{x}+x) + (1-2\sqrt{x}+x) = 2(1+x)$ （自然数）
よって, $n=1, 2$ のとき主張は正しい。
$n=1, 2, \dots, k$ ($k \geqq 2$) のとき, $A_x(n)$ がすべて自然数であると仮定する。
$a = 1+\sqrt{x}$, $b = 1-\sqrt{x}$ とおくと, $a+b=2$, $ab=1-x$ である。
これより, $A_x(n)$ は次の漸化式を満たす：
$$
\begin{aligned}
&A_x(k+1) \\
& \quad = (a+b)A_x(k) - abA_x(k-1) \\[5pt]
& \quad = 2A_x(k) - (1-x)A_x(k-1) \\[5pt]
& \quad = 2A_x(k) + (x-1)A_x(k-1) \quad \cdots (\ast)
\end{aligned}
$$
帰納法の仮定より $A_x(k), A_x(k-1)$ は自然数であり, $x$ は自然数なので $x-1$ は $0$ 以上の整数である。
したがって, $(\ast)$ より $A_x(k+1)$ も自然数となる。
以上より, 数学的帰納法によって, すべての自然数 $n$ について $(1+\sqrt{x})^n + (1-\sqrt{x})^n$ は自然数である。
