$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}$ の部分分数分解の計算
部分分数分解
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}$ を式変形で分解してみよう。
例えば, $\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ という計算です。
解説.
右辺を計算していきます.
$$\begin{aligned}
&\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\
&=\frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} \\
&=\frac{n+1 - n }{n(n+1)}\\
&=\frac{1}{n(n+1)}
\end{aligned}$$
これは左辺の形である.
ゆえに, $$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$ が成立する.
