$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ の部分分数分解の計算
部分分数分解
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ $\displaystyle = \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$
$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ を式変形で分解してみよう。
例えば, $\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} \right\}$ という計算です。
解説.
右辺を計算していきます.
$$\begin{aligned}
&\frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\} \\
&=\frac{1}{2}\left\{ \frac{n+2}{n(n+1)(n+2)} - \frac{n}{n(n+1)(n+2)} \right\} \\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+2 - n }{n(n+1)(n+2)} \\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{n(n+1)(n+2)} \\
&=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}
\end{aligned}$$
これは左辺の形である.
ゆえに,
$$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$$
が成立する.
