$n \geqq 4$ のとき $2^n > n^2 - n +2$であることの証明【数学的帰納法】

命題.

$n \geqq 4$ の任意の自然数について $2^n > n^2-n+2$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する.

$n=4$ のとき, 左辺は $2^4=16$, 右辺は $4^2 - 4 + 2 = 14$ であり, 不等式は成り立つ. ゆえに, $n=4$ のとき主張は正しい.

$n=k \geqq 2$ のとき, $2^k>k^2 - k + 2$ が成り立つと仮定する.

$n=k+1$ のときにも, $2^n > n^2 - n +2$ が成り立つことを示す.

$$\begin{aligned}
&2^n -(n^2-n+2) \\
& = 2^{k+1} \\
& \phantom{xxx} -\{(k+1)^2-(k+1)+2\} \\
& = 2 \cdot 2^{k} \\
& \phantom{xxx} -\{(k+1)^2-(k+1)+2\} \\
& > 2 (k^2 - k +2) \\
& \phantom{xxx} -\{(k+1)^2-(k+1)+2\} \\
& = k^2 - 3k +2 \\
&=(k-1)(k-2) \\
& >0
\end{aligned}$$

$2^n - (n^2 - n+2) > 0$ より, $2^n > n^2-n+2$ である.

よって, $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定すると, $n=k+1$ のときも不等式が成り立つことが示せた.

数学的帰納法により, 任意の自然数 $n \geqq 4$ について, $2^n>n^2 - n +2$ が成り立つことが示せた.