$n \geqq 4$ のとき $2^n > n^2 - n +2$であることの証明【数学的帰納法】

$n \geqq 4$ の自然数について, 不等式 $2^n > n^2 - n + 2 \cdots (\text{＊})$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

(左辺) $= 2^4 = 16$
(右辺) $= 4^2 - 4 + 2 = 14$
$16 > 14$ より, $n=4$ のとき(＊)は成り立つ。

$n=k$ ($k \geqq 4$) のとき, (＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ 2^k > k^2 - k + 2 $$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき, (左辺) $-$ (右辺) の差を計算する。 $$ \begin{aligned} &2^{k+1} - \{ (k+1)^2 - (k+1) + 2 \} \\[5pt] &= 2 \cdot 2^k - (k^2 + k + 2) \\[5pt] &> 2(k^2 - k + 2) - (k^2 + k + 2) \\[5pt] &= 2k^2 - 2k + 4 - k^2 - k - 2 \\[5pt] &= k^2 - 3k + 2 \\[5pt] &= (k-1)(k-2) \end{aligned} $$ ここで $k \geqq 4$ より, $k-1 > 0$ かつ $k-2 > 0$ であるから, $$ (k-1)(k-2) > 0 $$ が成り立つ。よって, $n=k+1$ のときも(＊)は成り立つ。

以上より, 数学的帰納法によって, $n \geqq 4$ のすべての自然数について $$ 2^n > n^2 - n + 2 $$ が成り立つ。