三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から数列の一般項を導出する
漸化式 $$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$$ について,
- 特性方程式 $x^2 = px+q$ の解 $\alpha$ と $\beta$ を用いて, 漸化式を次のように変形する:$$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$
- 数列 $\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ と $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ がそれぞれ等比数列であるから, 次が得られる: $$\begin{aligned} a_{n+1} - \alpha a_n &= (a_2 - \alpha a_1) \beta^{n-1} \\ a_{n+1} - \beta a_n &= (a_2 - \beta a_1) \alpha^{n-1} \end{aligned}$$
- (2)の式を連立し, $a_{n+1}$ を消去する。
という手順で, $\{a_n\}$ の一般項を導出できる。
与えられた漸化式：$a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n \quad (a_1=1, a_2=4)$
$x^2 = 5x - 6$ を解くと, $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$ より $x=2, 3$ である。
これより, 与えられた漸化式は次の2通りに変形できる。
$$
\begin{cases}
a_{n+2} - 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} - 2a_n) & \cdots ① \\[5pt]
a_{n+2} - 3a_{n+1} = 2(a_{n+1} - 3a_n) & \cdots ②
\end{cases}
$$
①より： $b_n = a_{n+1} - 2a_n$ は初項 $b_1 = a_2 - 2a_1 = 4 - 2(1) = 2$, 公比 $3$ の等比数列である。 $$ a_{n+1} - 2a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad \cdots ③ $$ ②より： $c_n = a_{n+1} - 3a_n$ は初項 $c_1 = a_2 - 3a_1 = 4 - 3(1) = 1$, 公比 $2$ の等比数列である。 $$ a_{n+1} - 3a_n = 1 \cdot 2^{n-1} \quad \cdots ④ $$
③から④を引くことで, $a_{n+1}$ を消去する。 $$\begin{array}{crcl} & a_{n+1} - 2a_n &=& 2 \cdot 3^{n-1} \\ -) & a_{n+1} - 3a_n &=& 2^{n-1} \\ \hline \end{array} $$ ゆえに, $a_n= 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$ を得る。
この数列から, 前の数の2倍を引いていくと, $2$, $6$, $18$, $54$, $162$ になります。これは $2 \cdot 3^{n-1}$ です。
また, 前の数の3倍を引いた場合は, $1$, $2$, $4$, $8$, $16$ になります。これは $2^{n-1}$ です。
これらの関係は $$ \begin{aligned} a_{n+1} - 2a_n &=2 \cdot 3^{n-1}$ \\ a_{n+1} - 3a_n &=2^{n-1} \\ \end{aligned}$$ という式を表しているから, $a_{n+1}$ を消去することで, $$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$$ となります！
