三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から数列の一般項を導出する
三項間漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から一般項を導いてみよう。
2階の線形漸化式
漸化式 $a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ から一般項を導く解法は次の通り:
- 特性方程式 $x^2 = px+q$ の解を $\alpha$ と $\beta$ を導く.
- $\alpha$ と $\beta$ を用い, 漸化式を次のように変形する:$$\begin{aligned} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &= \beta (a_{n+1} - \alpha a_n) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &= \alpha (a_{n+1} - \beta a_n) \end{aligned}$$
- 数列 $\{ a_{n+1} - \alpha a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \alpha a_1$, 公比 $\beta$ の等比数列と認識でき, $a_{n+1} - \alpha a_n$ $= (a_2 - \alpha a_1) \beta^{n-1}$ が得られる.
- 数列 $\{ a_{n+1} - \beta a_{n} \}_n$ は初項 $a_2 - \beta a_1$, 公比 $\alpha$ の等比数列と認識でき, $a_{n+1} - \beta a_n$ $=(a_2 - \beta a_1)\alpha^{n-1}$ が得られる.
- (3)と(4)の式から $a_{n+1}$ を消去することで数列 $\{a_n\}$ の一般項の式を導く.
(2)の解説
方程式 $x^2 = px+q$ について, 解と係数の関係から$$\alpha+\beta=p, \ -\alpha \beta = q$$ が得られる. よって, 漸化式 $a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$ は $$a_{n+2} = (\alpha + \beta) a_{n+1} +(-\alpha \beta) a_n$$ と表示できる.この式を変形すると(2)で与えた式が得られる.
例題. 漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} -6 a_n$, $a_1=1$, $a_2=4$ から数列 $\{ a_n \}$ の一般項を導きなさい.
$a_{n+2} = 5a_{n+1} - a_n$ から $x^2 = 5x-6$ を考える。これを解くと $x=2, \ 3$ となる.
よって, 漸化式は $$\begin{aligned} a_{n+2} - 2 a_{n+1} &= 3 (a_{n+1} - 2 a_n) \\ a_{n+2} - 3 a_{n+1} &= 2 (a_{n+1} - 3 a_n) \end{aligned}$$ と変形できる.
$b_n = a_{n+1} - 2 a_{n}$ と置くと, $b_{n+1} = 3 b_n$ が成り立つ. ゆえに, 数列 $\{ b_n \}$ は初項 $b_1 = a_2 - 2 a_1$ $=2$, 公比 $3$ の等比数列である. したがって,
$b_{n} = 2 \cdot 3^{n-1}$
を得る.
$c_n = a_{n+1} - 3 a_{n}$ と置くと, $c_{n+1} = 2 c_n$ が成り立つ. ゆえに, 数列 $\{ c_n \}$ は初項 $c_1 = a_2 - 3 a_1$ $=1$, 公比 $2$ の等比数列である. したがって,
$c_n = 2^{n-1}$
を得る.
$b_n = a_{n+1} - 2 a_n$, $c_n = a_{n+1} - 3 a_n$ であったから,
$$\begin{aligned} a_{n+1} - 2 a_n &= 2 \cdot 3^{n-1} \\ a_{n+1} - 3 a_n &=2^{n-1} \end{aligned}$$
が成り立つ. 2つの式の各辺同士を引くことで $a_{n+1}$ を消去すると,
$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$
となる.
たとえば,
$a_{n+2}$ $= 5a_{n+1}-6a_n$, $a_1=1$, $a_2=4$ の数列は
$1$, $4$, $14$, $46$, $146$, $454$, $\cdots$
です。
この数列から, 前の数の2倍を引いていくと,
$2$, $6$, $18$, $54$, $162$
になります。これは $2 \cdot 3^{n-1}$ です。
また, 前の数の3倍を引いた場合は,
$1$, $2$, $4$, $8$, $16$
になります。これは $2^{n-1}$ です。
これらの関係は
$a_{n+1} - 2a_n$ $=2 \cdot 3^{n-1}$,
$a_{n+1} - 3a_n$ $=2^{n-1}$
という式を表しているから, $a_{n+1}$ を消去することで,
$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$
となります！
