$3^n>4n(n \geqq 2)$ であることの証明【数学的帰納法】

$n \geqq 2$ の自然数について, 不等式 $3^n > 4n \cdots (\text{＊})$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

(左辺) $= 3^2 = 9$
(右辺) $= 4 \cdot 2 = 8$
$9 > 8$ より, $n=2$ のとき(＊)は成り立つ。

$n=k$ ($k \geqq 2$) のとき, (＊)が成り立つと仮定する。すなわち, $$ 3^k > 4k $$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき, (左辺) $-$ (右辺) の差を計算する。 $$ \begin{aligned} & 3^{k+1} - 4(k+1) \\ &= 3 \cdot 3^k - 4(k+1) \\[5pt] &> 3 \cdot 4k - 4(k+1) \\[5pt] &= 12k - 4k - 4 \\[5pt] &= 8k - 4 \\[5pt] &= 4(2k - 1) \end{aligned} $$ ここで $k \geqq 2$ より, $2k - 1 > 0$ であるから, $$ 4(2k - 1) > 0 $$ が成り立つ。よって, $n=k+1$ のときも(＊)は成り立つ。

ゆえに, 数学的帰納法によって, $n \geqq 2$ のすべての自然数について $$ 3^n > 4n $$ が成り立つ。