$3^n>4n(n \geqq 2)$ であることの証明【数学的帰納法】

命題.

$n \geqq 2$ の任意の自然数について $3^n > 4n$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する.

$n=2$ のとき, 左辺は $3^2=9$, 右辺は $4 \cdot 2 = 8$ であり, 不等式は成り立つ. ゆえに, $n=2$ のとき主張は正しい.

$n=k \geqq 2$ のとき, $3^k>4k$ が成り立つと仮定する.

$n=k+1$ のときにも, $3^n > 4n$ が成り立つことを示す.

$$\begin{aligned}
&3^n -4n \\
& = 3^{k+1}-4(k+1) \\
&=3 \cdot 3^k -4(k+1)\\
&> 3 \cdot 4k - 4(k+1) \\
&= 8k - 4\\
&= 4(2k-1) \\
& >0
\end{aligned}$$

$3^n - 4n > 0$ より, $3^n > 4n$ である.

よって, $n=k$ のとき主張が正しいと仮定すると, $n=k+1$ のときも主張が正しいことが示せた.

数学的帰納法により, 任意の自然数 $n \geqq 2$ について, $3^n>4n$ が成り立つことが示せた.