$5^n-1$ が4の倍数であることの証明【数学的帰納法】

すべての自然数 $n$ について, 「$5^n-1$ は $4$ の倍数である」という命題を $P(n)$ とする。

$5^1 - 1 = 4$ となり, これは $4$ の倍数である。
よって, $n=1$ のとき命題 $P(1)$ は真である。

$n=\ell$ のとき $P(\ell)$ が真であると仮定する。すなわち, ある整数 $k$ を用いて次のように表せる。 $$ 5^\ell - 1 = 4k $$

$n=\ell+1$ のとき, $5^{\ell+1}-1$ を計算して仮定を代入する。 $$ \begin{aligned} 5^{\ell+1} - 1 &= 5 \cdot 5^\ell - 1 \\[5pt] &= 5(4k + 1) - 1 \\[5pt] &= 20k + 5 - 1 \\[5pt] &= 20k + 4 \\[5pt] &= 4(5k + 1) \end{aligned} $$ $5k+1$ は整数であるから, $4(5k+1)$ は $4$ の倍数である。
したがって, $n=\ell+1$ のときも命題 $P(\ell+1)$ は真である。

ゆえに, 数学的帰納法によって, すべての自然数 $n$ について $5^n-1$ は $4$ の倍数である。