$\frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$ の証明【数学的帰納法】

$A(n) = \frac{a^n+b^n}{2}$, $B(n) = \left(\frac{a+b}{2}\right)^n$ とおき, すべての自然数 $n$ について $A(n) \geqq B(n) \cdots (\text{＊})$ が成り立つことを証明する。

$A(1) = \frac{a+b}{2}$, $B(1) = \frac{a+b}{2}$ より, $A(1) = B(1)$ となり(＊)は成り立つ。

$n=k$ のとき(＊)が成り立つ, すなわち $A(k) \geqq B(k)$ と仮定する。

$f(k+1) = A(k+1) - B(k+1)$ の正負を調べる。ここで $A(k+1)$ に関する隣接3項間の関係式を利用すると： $$ \begin{aligned} &f(k+1) \\ &= \underbrace{(a+b)A(k) - abA(k-1)}_{A(k+1)} \\ & \phantom{aaaa} - B(k+1) \\[8pt] &= \frac{a+b}{2}A(k) - abA(k-1) \\ &\phantom{aaaa} + \frac{a+b}{2}A(k) - \frac{a+b}{2}B(k)\\ & \phantom{aaaaaa} (\because B(k+1) = \frac{a+b}{2}B(k)) \\[8pt] &= \left\{ \frac{a+b}{2}A(k) - abA(k-1) \right\} \\ & \phantom{aaaa} + \frac{a+b}{2}(A(k) - B(k)) \end{aligned} $$ 第1中括弧の中身を計算すると： $$ \begin{aligned} &\frac{a+b}{2} \cdot \frac{a^k+b^k}{2} - ab \cdot \frac{a^{k-1}+b^{k-1}}{2} \\ & \quad = \frac{(a-b)(a^k-b^k)}{4} \end{aligned} $$ となる。よって, $$\begin{aligned} &f(k+1) \\ & \quad = \frac{(a-b)(a^k-b^k)}{4} \\ & \quad + \frac{a+b}{2}(A(k) - B(k)) \end{aligned}$$

1. $(a-b)$ と $(a^k-b^k)$ は常に同符号（または一方が0）であるから, 第1項 $\geqq 0$。
2. 帰納法の仮定より $A(k)-B(k) \geqq 0$ であるから, 第2項 $\geqq 0$。
したがって $f(k+1) \geqq 0$ が示され, $n=k+1$ のときも(＊)は成り立つ。

等号成立は, $n \geqq 2$ においては $a=b$ のときに限られる。

以上より, 数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ について $$ \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n $$ が成り立つ。