$\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$ であることの証明【数学的帰納法】
命題
$a>0$, $b>0$ のとき, $$\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$$ が成り立つ.
等号成立は, $a=b$ のときである. ただし, $n=1$ のときのみ $a\neq b$ であっても等号は成立する.
任意の自然数 $n$ について, $\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$ が成り立つことを数学的帰納法で証明してみよう。
命題.
任意の自然数 $n$ について $\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明する.
まず,
$$\begin{aligned} A(n) &=\frac{a^n+b^n}{2} \\ B(n) &=\left(\frac{a+b}{2} \right)^n\end{aligned}$$ と置く.
$n=1$ のとき, 両辺ともに $\displaystyle \frac{a+b}{2}$ となる. したがって, $n=1$ のとき主張は正しい.
$n=k \geqq 1$ のとき, $\displaystyle A(k) \geqq B(k)$ が成り立つと仮定する.
$n=k+1$ のときにも, $\displaystyle A(k+1) \geqq B(k+1)$ が成り立つことを示す. そのために, $f(n) = A(n) - B(n)$ と置き, $f(k+1) \geqq 0$ を示すこととする.
$$f(n)=\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} - \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$$
また, 次の関係式が成り立つ.
$$A(k+1) = (a+b)A(k) - abA(k-1)$$
$\displaystyle A(k+1) = \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}$ の分子について次の変形をすることで, 該当の等式は得られる.
$$a^{k+1} + b^{k+1} = (a+b)(a^k + b^k) - ab(a^{k-1} + b^{k-1})$$
以上を踏まえて, $f(k+1) \geqq 0$ であることを確かめる.
$$\begin{aligned}
&f(k+1) \\
&=A(k+1) - B(k+1) \\
& =(a+b)A(k) - abA(k-1) - B(k+1)\\
& =\frac{a+b}{2}A(k) - abA(k-1) \\
& \phantom{xx} + \frac{a+b}{2}A(k) - B(k+1)\\
& =\frac{a+b}{2}A(k) - abA(k-1) \\
& \phantom{xx} + \frac{a+b}{2}(A(k) - B(k))
\end{aligned}$$
最後の等号は下の関係を利用している.
$\displaystyle B(k+1)=\frac{a+b}{2} B(k)$
第1項目と第2項目について, $A(k)$ と $A(k-1)$ を元の式に戻して直接計算すると, $(a-b)(a^k-b^k)$ となる.
$a-b$ と $a^k-b^k$ の正負は同じであるから, $$(a-b)(a^k-b^k) \geqq 0$$ である.
第3項目については, 数学的帰納法の仮定より $\displaystyle A(k)-B(k) \geqq 0$ であったから, $$\frac{a+b}{2}(A(k) - B(k)) \geqq 0$$ が言える.
したがって,
$$f(k+1) = (a-b)(a^k - b^k) \phantom{x} +\frac{a+b}{2}(A(k) - B(k))$$
であって, $f(k+1) \geqq 0$ である.
等号成立は, $$(a-b)(a^k-b^k) = 0$$ と仮定すると, $k$ が奇数のときは $a=b$ が必要条件であり, $k$ が偶数のときは $|a| = |b|$ が必要条件である.
これらの条件が, $$\frac{a+b}{2}(A(k) - B(k)) = 0$$ を満足するか検証する.
$k$ が偶数で, かつ $a = -b$ である場合, $A(k)-B(k) =a^n$ である. よって, $a=b=0$ のときのみ等号が成立する.
また, $a=b$ であれば, $A(k)=a^k$, $B(k)=a^k$ を満たし, $\displaystyle \frac{a+b}{2}(A(k) - B(k)) = 0$ である.
ゆえに, 等号成立は $a=b$ のときのみであることが分かる.
よって, $n=k$ のとき, 不等式 $A(k) \geqq B(k)$ が成り立つと仮定すると, $n=k+1$ のときも不等式 $A(k+1) \geqq B(k+1)$ が成り立つことが示せた.
等号成立は, $n=1$ のときは $a$, $b$ が任意の実数に対して成り立ち, $n \geqq 2$ のときは $a=b$ のときに限る.
ゆえに, 数学的帰納法により, 任意の自然数 $n$ について, $$\displaystyle \frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2} \right)^n$$ が成り立つことが示せた.
