漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の一般項を求める
正の実数 $x$ に対して、漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{x}{a_n} \right)$ で定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項は、初期値を $a_1$ としたとき次のように表される。 $$ a_n = \sqrt{x} \cdot \frac{1 + b_n}{1 - b_n} \quad \text{ただし} \quad b_n = \left( \frac{a_1 - \sqrt{x}}{a_1 + \sqrt{x}} \right)^{2^{n-1}} $$
問題：漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{x}{a_n}\right)$ の一般項を求めよ。
漸化式の両辺から $\sqrt{x}$ および $-\sqrt{x}$ を引いて変形する。 $$ \begin{aligned} a_{n+1} \mp \sqrt{x} &= \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{x}{a_n} \right) \mp \sqrt{x} \\[8pt] &= \frac{a_n^2 \mp 2a_n\sqrt{x} + x}{2a_n} \\[8pt] &= \frac{(a_n \mp \sqrt{x})^2}{2a_n} \end{aligned} $$ これより, 次の2つの式が得られる。 $$ a_{n+1} - \sqrt{x} = \frac{(a_n - \sqrt{x})^2}{2a_n} \quad \cdots ① $$ $$ a_{n+1} + \sqrt{x} = \frac{(a_n + \sqrt{x})^2}{2a_n} \quad \cdots ② $$
①を②で割ることで, 分母の $2a_n$ を消去する。 $$ \frac{a_{n+1} - \sqrt{x}}{a_{n+1} + \sqrt{x}} = \frac{(a_n - \sqrt{x})^2}{(a_n + \sqrt{x})^2} = \left( \frac{a_n - \sqrt{x}}{a_n + \sqrt{x}} \right)^2 $$ ここで, $b_n = \frac{a_n - \sqrt{x}}{a_n + \sqrt{x}}$ とおくと, $b_{n+1} = b_n^2$ が成り立つ。
数列 $\{b_n\}$ は次々と2乗されるため, 一般項は以下のようになる。 $$ b_n = b_1^{2^{n-1}} $$ $b_n$ の定義式を $a_n$ について解くと $a_n = \frac{1+b_n}{1-b_n}\sqrt{x}$ となるので： $$ a_n = \frac{1 + b_1^{2^{n-1}}}{1 - b_1^{2^{n-1}}} \sqrt{x} $$
基本の解法
解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{2}{a_n})$ の両辺から $\pm \sqrt{2}$ を引くことで
$$\begin{aligned}
&a_{n+1} \pm \sqrt{2} \\
&= \frac{a_n^2 +2}{2a_n} \pm \sqrt{2} \\
&= \frac{a_n^2 \pm 2\sqrt{2} a_n + 2}{2a_n} \\
&= \frac{(a_n \pm{\sqrt{2}})^2}{2a_n}
\end{aligned}$$
という変形を行う.この２式の両辺をそれぞれ割ることで,
$$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2}}{a_{n+1} + \sqrt{2}}= \left(\frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}\right)^2$$
の形を得る.
はじめの漸化式から $a_1 > 0$ であれば, 任意の $n \in \mathbb{N}$ についても $a_n>0$ であることが分かる.
したがって, $a_n + \sqrt{2} >0$ である.
$\displaystyle b_n = \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}$ と置くことで, 漸化式 $b_{n+1} = b_n^2$ の形に帰着できる. したがって,
$b_{n} = b_{n-1}^2 = b_{n-2}^4 = \cdots = b_1^{2^{n-1}}$ である.
また, $\{ b_n \}$ の初項は$$\displaystyle b_1 = \frac{a_1 - {\sqrt{2}}}{a_1 +{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-3$$ である. 以上から, $$\displaystyle \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}} = (2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}$$ となる. ゆえに, $$\displaystyle a_n = \frac{1+(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}{1-(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}$$ である.
