漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の一般項を求める
$x>0$ のとき, 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left(a_n + \frac{x}{a_n} \right)$ から数列 $\{a_n \}_n$ の一般項を導出してみよう。
基本の解法
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{x}{a_n})$ の両辺から $\pm \sqrt{x}$ を引くことで
$$a_{n+1} \pm \sqrt{x}= \frac{(a_n \pm{\sqrt{x}})^2}{2a_n}$$
という変形を行う.この２式の両辺をそれぞれ割ることで,
$$\frac{a_{n+1} - \sqrt{x}}{a_{n+1} + \sqrt{x}}= \left(\frac{a_n - {\sqrt{x}}}{a_n +{\sqrt{x}}}\right)^2$$
の形を得る. $\displaystyle b_n = \frac{a_n - {\sqrt{x}}}{a_n +{\sqrt{x}}}$ と置くことで, 漸化式 $b_{n+1} = b_n^{2}$ の形に帰着できる.
$b_n = b_1^{2^{n-1}}$ であることから, $\displaystyle a_n = \frac{1+b_1^{2^{n-1}}}{1-b_1^{2^{n-1}}}\sqrt{x}$ が得られる.
例えば, 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$, $a_1 = 1$ は $$1, \ \frac{3}{2}, \ \frac{17}{12}, \ \frac{577}{408}, \ \cdots $$ です。これを小数にすると, $$1, \ 1.5, \ 1.416\cdots, \ 1.414215 \cdots, \ \cdots $$ となり $\sqrt{2}$ に収束しています！
解法. 漸化式 $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_n + \frac{2}{a_n})$ の両辺から $\pm \sqrt{2}$ を引くことで
$$\begin{aligned}
a_{n+1} \pm \sqrt{2} &= \frac{a_n^2 +2}{2a_n} \pm \sqrt{2} \\
&= \frac{a_n^2 \pm 2\sqrt{2} a_n + 2}{2a_n} \\
&= \frac{(a_n \pm{\sqrt{2}})^2}{2a_n}
\end{aligned}$$
という変形を行う.この２式の両辺をそれぞれ割ることで,
$$\frac{a_{n+1} - \sqrt{2}}{a_{n+1} + \sqrt{2}}= \left(\frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}\right)^2$$
の形を得る.
はじめの漸化式から $a_1 > 0$ であれば, 任意の $n \in \mathbb{N}$ についても $a_n>0$ であることが分かる.
したがって, $a_n + \sqrt{2} >0$ である.
$\displaystyle b_n = \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}}$ と置くことで, 漸化式 $b_{n+1} = b_n^2$ の形に帰着できる.
$b_{n} = b_{n-1}^2 = b_{n-2}^4 = \cdots = b_1^{2^{n-1}}$ である.
また, $\{ b_n \}$ の初項は$$\displaystyle b_1 = \frac{a_1 - {\sqrt{2}}}{a_1 +{\sqrt{2}}}=2\sqrt{2}-3$$ である. 以上から, $$\displaystyle \frac{a_n - {\sqrt{2}}}{a_n +{\sqrt{2}}} = (2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}$$ となる. ゆえに, $$\displaystyle a_n = \frac{1+(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}{1-(2\sqrt{2} - 3)^{2^{n-1}}}\sqrt{2}$$ である.
