平均値を追加したデータの平均値
データ $x$ に平均値 $\bar{x}$ を追加したデータ $x'$ の平均値が $\bar{x}$ であることを示してみよう。
性質
データ $x=[x_1, x_2, \cdots, x_n]$ について, 平均値を $\bar{x}$ とする.
データ $x'=[x_1, x_2, \cdots, x_n, \bar{x}]$ の平均値 $\overline{x'}$ は $\bar{x}$ と一致する.
証明.
平均値の定義を踏まえ, $\overline{x'}$ を計算し $\bar{x}$ と一致することを示す.
平均値の定義式
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$
より,
$x_1 + \cdots + x_n = n \bar{x}$
が成り立つ.
$\overline{x'}$
$\displaystyle =\frac{x_1 + \cdots + x_n+\bar{x}}{n+1}$
$\displaystyle =\frac{n \bar{x}+\bar{x}}{n+1}$
$\displaystyle =\frac{(n+1) \bar{x}}{n+1}$
$=\bar{x}$.
ゆえに, $\overline{x'}=\bar{x}$ が得られた.
たとえば,
$x=[1, 2, 3]$
のとき,
$\bar{x}=2$
を加えたデータ
$[1, 2, 3, 2]$
の平均も $2$ です。
