期待値 $E[aX+b]$ 【離散的確率変数 $X$ の1次変換】

証明.

確率変数 $X$ に関する期待値の定義から公式を計算する.

確率変数 $X$ の取りうる値を $x_1, \ldots, x_n$ とし, それぞの確率を $p_1, \ldots, p_n$ とする. なお, $p_1 + \cdots + p_n =1$ である.

確率変数 $aX+b$ の取りうる値は $ax_1 + b$, $\ldots$, $ax_n+b$ であり, この期待値は

$\displaystyle E[aX+b] =\sum_{i=1}^n (ax_i+b)p_i$

である.

$\displaystyle \sum_{i=1}^n (ax_i+b)p_i = a\sum_{i=1}^n x_ip_i+ b\sum_{i=1}^np_i$

第1項目は $aE[X]$ である.

$\displaystyle \sum_{i=1}^np_i=1$ より, 第2項目は $b$ である.

ゆえに, $E[aX+b] = aE[X]+b$ である。