標準偏差 $\sigma[aX+b]$ 【離散的確率変数 $X$ の1次変換】
確率変数 $aX+b$ の標準偏差が $|a|\sigma[X]$ で表されることを理解してみよう。
公式
$X$ を確率変数, $a$, $b$ を定数とすると,
$\sigma[aX+b] = |a|\sigma[X]$
が成り立つ.
証明.
確率変数 $aX+b$ の標準偏差 $\sigma[aX+b]$ を, 分散に関する公式
$V[aX+b]=a^2V[X]$
から計算する.
両辺の平方根を取ると
$\displaystyle \sqrt{V[aX+b]}=|a| \sqrt{V[X]}$
を得る. ここで, 標準偏差の定義から
$\begin{aligned}
\sqrt{V[aX+b]} &= \sigma[aX+b] \\
\sqrt{V[X]} &= \sigma[X]
\end{aligned}$
であり, $\sigma[aX+b] = |a|\sigma[X]$ が導出される.
ゆえに, $\sigma[aX+b] = |a|\sigma[X]$ である.
$\sigma[X]=2$ のとき, 確率変数 $3X+2$ の標準偏差は
$\sigma[3X+2]$ $= 3\sigma[X]$ $=3 \cdot 2$ $=6$
になります。
