分散 $V[aX+b]$ 【離散的確率変数 $X$ の1次変換】

証明.

確率変数 $X$ に関する分散の定義から公式を計算する.

確率変数 $X$ の取りうる値を $x_1, \ldots, x_n$ とし, それぞの確率を $p_1, \ldots, p_n$ とする. なお, $p_1 + \cdots + p_n =1$ である.

また, $\mu = E[X]$ を期待値とする.

確率変数 $aX+b$ の取りうる値は $ax_1 + b$, $\ldots$, $ax_n+b$ である.

この期待値は$a \mu+b$ である.

したがって, 確率変数 $aX+b$ の分散は

$\displaystyle V[aX+b]$ $\displaystyle =\sum_{i=1}^n \{(ax_i+b)-(a\mu+b)\}^2p_i$

である.

$\{(ax_i+b)-(a\mu+b)\}^2$ $=a^2(x_i-\mu)^2$ であることから,

$\begin{aligned}
&V[aX+b] \\
\displaystyle &=\sum_{i=1}^n a^2(x_i-\mu)^2p_i \\ \displaystyle &= a^2\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2p_i \\ &=a^2V[X] \end{aligned}$

ゆえに, $V[aX+b] = a^2V[X]$ である.