ベルヌーイ分布から二項分布を定義する
命題
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う $n$ 個の独立な確率変数を $X_1$ $\ldots$ $X_n$ とする.
確率変数の和 $X_1 + \ldots + X_n$ は二項分布 $B(n,p)$ に従う.
逆に, 二項分布に従う確率変数 $X$ は, $n$ 個の独立なベルヌーイ分布に従う確率変数の和として表すことができる.
$X=X_1 + \ldots + X_n$.
※ $0 \leqq r \leqq n$ について, $P(X_1 + \ldots + X_n = r)$ $={}_n\mathrm{C}_rp^r(1-p)^{n-r}$ である.
証明.
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う独立な確率変数 $X_1$ $\ldots$ $X_n$ の和 $X_1 + \ldots + X_n$ と, 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ が等しいことを示す.
ベルヌーイ分布に従う確率分布
| $X_r$ | $0$ | $1$ | 計 |
| 確率 | $1-p$ | $p$ | $1$ |
■ 確率変数の和が二項分布に従うこと;
$1 \leqq r \leqq n$ について, $X_1 + \ldots + X_n=r$ とする. この方程式の解は
$(X_1,\ldots, X_r, X_{r+1}, \ldots, X_n)$ $=(1, \cdots, 1, 0, \cdots, 0)$
をはじめ, $n$ 個のうち $r$ 個の確率変数が $1$ を返している状況を表す. これらの解は ${}_n \mathrm{C}_r$ 個だけ存在して, おのおのが起こる確率は確率変数の独立性より $p^r(1-p)^{n-r}$ である.
ゆえに,
$P(X_1 + \ldots + X_n=r)$ $={}_n \mathrm{C}_r p^r(1-p)^{n-r}$
であり, この確率変数は二項分布 $B(n,p)$ に従っていることが分かる.
■ 二項分布に従う確率変数がベルヌーイ分布に従う確率変数の和で表せること;
$1 \leqq i \leqq n$ について, $n$ 回の試行のうち, $i$ 回目の試行の成功の可否を表す確率変数 $X_i$ を
・成功した場合 $X_i=1$,
・失敗した場合 $X_i = 0$
と定める. これは $B(1,p)$ に従う確率変数である.
$1 \leqq i,j \leqq n$ について, 二項分布の $i$ 回目の試行と $j$ 回目の試行は互いに影響しないので, $X_i$ と $X_j$ は独立である.
これらの和 $X_1 + \ldots + X_n$ は前述の通り, $B(n,p)$ に従う確率変数となる..
ゆえに, $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は, $n$ 個の独立なベルヌーイ分布に従う確率変数の和として表すことができる.
例えば, $n=2$ のとき
| $X_1, X_2$ | $0$ | $1$ | 計 |
| $0$ | $(1-p)^2$ | $(1-p)p$ | $1-p$ |
| $1$ | $p(1-p)$ | $p^2$ | $p$ |
| 計 | $1-p$ | $p$ | $1$ |
$X_1 + X_2=2$ のときは, $(X_1, X_2)$ $=(1,1)$ のときのみであり確率は $p^2$ である。
$X_1 + X_2=1$ のときは, $(X_1, X_2)$ $=(1,0)$, $(0,1)$ であるから確率は $2p(1-p)$ である。
$X_1 + X_2=0$ のときは, $(X_1, X_2)$ $=(0,0)$ のときのみであり確率は $(1-p)^2$ である。
したがって, $X_1 + X_2$ は二項分布 $B(2,p)$ に従っています。
