ベルヌーイ分布の期待値の公式の証明
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値が $E[X] = p$ であることを証明してみよう。
ベルヌーイ分布の期待値
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値について
$E[X] = p$
証明.
期待値の定義通りに計算する.
$\begin{aligned}
E[X] &= \displaystyle 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p.
\end{aligned}$
確率分布 $S$ に従う確率変数 $X$ の期待値は次の通り: $$\displaystyle E[X] = \sum_{i=1}^n x_i p_i.$$
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
ゆえに, $E[X] = p$ である.
例えば, 成功確率が $0.3$ のベルヌーイ分布 $B(1,0.3)$ では,
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $0.3$ | $0.7$ | $1$ |
期待値 $E[X]$ $= 1 \cdot 0.3$ $+ 0 \cdot 0.7$ $= 0.3$
です。
