ベルヌーイ分布の分散・標準偏差の公式の証明
ベルヌーイ分布の分散・標準偏差
$X \sim B(1,p)$ ならば $V[X] = p(1-p)$ であり, $\sigma[X] = \sqrt{X(1-p)}$ である。
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $Y$ の分散が $V[Y] = p(1-p)$, 標準偏差 $\sigma[Y] = \sqrt{p(1-p)}$ であることを証明してみよう。
例えば, 成功確率が $p=0.3$ のベルヌーイ分布 $B(1,0.3)$ では, $V[Y] = 0.21$, $\sigma[Y] = \sqrt{0.21} \fallingdotseq 0.46 $ です。
公式のイメージ
ベルヌーイ分布 $B(1,0.3)$ の分散は $$V[Y] = 1 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.7 = 0.3$$ で求まる！
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $0.3$ | $0.7$ | $1$ |
公式. ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $Y$ の分散は $V[Y] = p(1-p)$, 標準偏差は $\sigma[Y] = \sqrt{p(1-p)}$ である。
分散と標準偏差の定義通りに計算する。
ベルヌーイ分布の期待値は $E[Y] = p$ である。
分散については
$$\begin{aligned}
V[Y] &= \displaystyle (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p(1-p)
\end{aligned}$$
確率変数 $X$ の分散は: $$V[X] = \sum_{i=1}^n (x_i-E[X])^2 p_i $$
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
である。ゆえに, $V[Y] = p(1-p)$ である。
また, 標準偏差は $\sigma[Y] = \sqrt{p(1-p)}$ である。
確率変数 $X$ の標準偏差は $\sigma[X] = \sqrt{V[X]}$ である。
