ベルヌーイ分布の分散の公式の証明
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $X$ の分散が $V[X] = p(1-p)$ であることを証明してみよう。
ベルヌーイ分布の分散
ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数 $X$ の分散について
$V[X] = p(1-p)$
証明.
確率変数の分散の定義通りに計算する.
ベルヌーイ分布の期待値は $E[X] = p$ である.
分散については
$$\begin{aligned}
V[X] &= \displaystyle (1-p)^2 \cdot p + (0-p)^2 \cdot (1-p) \\
&= \displaystyle p(1-p)
\end{aligned}$$
確率変数 $X$ の分散は: $V[X]$ $\displaystyle = \sum_{i=1}^n (x_i-E[X])^2 p_i $
| $X$ | $x_1$ | $\cdots$ | $x_n$ | 計 |
| 確率 | $p_1$ | $\cdots$ | $p_n$ | $1$ |
である.
ゆえに, $V[X] = p(1-p)$ である.
例えば, 成功確率が $p=0.3$ のベルヌーイ分布 $B(1,0.3)$
| $Y$ | $1$ | $0$ | 計 |
| 確率 | $0.3$ | $0.7$ | $1$ |
について, 分散は
$V[X]$ $=1 \cdot 0.3$ $+ 0 \cdot 0.7$ $= 0.3$
です。
