ド・カステリョのアルゴリズム（ベジェ曲線）
平面内の点 $\mathbf{P}_{0,0}$, $\mathbf{P}_{1,0}$, $\cdots$, $\mathbf{P}_{n,0}$ をとり, $0 \leqq t \leqq 1$ を固定する。 $1 \leqq j \leqq n$, $0 \leqq i \leqq n-j$ に対して, 次の漸化式を定める： $$ \mathbf{P}_{i,j}(t) = (1-t)\mathbf{P}_{i,j-1}(t) + t\,\mathbf{P}_{i+1,j-1}(t) $$ ただし, $$ \mathbf{P}_{i,0}(t) = \mathbf{P}_{i,0} $$ とする。 この操作を $j=1,2,\dots,n$ と繰り返して得られる点 $\mathbf{P}_{0,n}(t)$ を考える。 $\mathbf{P}_{0,n}(t)$ の $0 \leqq t \leqq 1$ における軌跡は, $n$ 次ベジェ曲線となる。
$n$ 次ベジェ曲線は, 次の式で定義されていた： $$ \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k} t^k \mathbf{P}_{k,0} $$ ここで, 記述を簡潔にするため, $$ b_{k,j}(t) = {}_j \mathrm{C}_k (1-t)^{\,j-k} t^k $$ とおく。
$j$ に関して, $$ \mathbf{P}_{i,j}(t) = \sum_{k=i}^{i+j} b_{k-i,j}(t)\,\mathbf{P}_{k,0} $$ が成り立つと仮定する。 この形が $j+1$ の場合にも成り立つことを示す。
$j=1$ のとき, $$ \mathbf{P}_{i,1}(t) = (1-t)\mathbf{P}_{i,0} + t\mathbf{P}_{i+1,0} $$ である。 一方, $$ b_{0,1}(t) = 1-t,\quad b_{1,1}(t)=t $$ であるから, $$ \mathbf{P}_{i,1}(t) = b_{0,1}\mathbf{P}_{i,0} + b_{1,1}\mathbf{P}_{i+1,0} $$ となり, 仮定は $j=1$ で成り立つ。
帰納法の仮定を用いると, $$\begin{aligned} \mathbf{P}_{i,j}(t) &= \sum_{k=i}^{i+j} b_{k-i,j}\mathbf{P}_{k,0},\\ \mathbf{P}_{i+1,j}(t) &= \sum_{k=i+1}^{i+j+1} b_{k-(i+1),j}\mathbf{P}_{k,0} \end{aligned}$$ である。 漸化式より, $$ \mathbf{P}_{i,j+1}(t) = (1-t)\mathbf{P}_{i,j}(t) + t\mathbf{P}_{i+1,j}(t) $$ である。よって, $\mathbf{P}_{i,j+1}(t)$ は, $$ \begin{aligned} &(1-t)b_{0,j}\mathbf{P}_{i,0} \\[10pt] &\phantom{aaa}+ \sum_{k=i+1}^{i+j}\bigl((1-t)b_{k-i,j}+t b_{k-(i+1),j}\bigr)\mathbf{P}_{k,0} \\[10pt] &\phantom{aaaaaa}+ t b_{j,j}\mathbf{P}_{i+j+1,0} \end{aligned}$$ と書ける。
各係数について, $$ (1-t)b_{k-i,j}+t b_{k-(i+1),j} = b_{k-i,j+1} $$ が成り立つ。 これは, $$ {}_j \mathrm{C}_{k-i} + {}_j \mathrm{C}_{k-i-1} = {}_{j+1} \mathrm{C}_{k-i} $$ を用いた直接計算による。 また, $$ (1-t)b_{0,j}=b_{0,j+1},\quad t b_{j,j}=b_{j+1,j+1} $$ である。
以上より, $$ \mathbf{P}_{i,j+1}(t) = \sum_{k=i}^{i+j+1} b_{k-i,j+1}\mathbf{P}_{k,0} $$ が得られ, 仮定は $j+1$ に対しても成り立つ。
特に $i=0$, $j=n$ とすると, $$ \mathbf{P}_{0,n}(t) = \sum_{k=0}^{n} b_{k,n}\mathbf{P}_{k,0} = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k} t^k \mathbf{P}_{k,0} $$ となる。 ゆえに, De Casteljau の漸化式によって得られる $\mathbf{P}_{0,n}(t)$ の軌跡は, $n$ 次ベジェ曲線と一致する。
