ベジェ曲線の定義式
定義（ベジェ曲線）
平面内の点 $\mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \cdots, \mathbf{P}_n$ を与える。
$0 \leqq t \leqq 1$ に対して, 点 $\mathbf{P}(t)$ を
$$
\mathbf{P}(t)
= \sum_{k=0}^{n}
{}_n\mathrm{C}_k (1-t)^{\,n-k} \, t^{\,k} \, \mathbf{P}_k
$$
によって定める。
このとき, 点 $\mathbf{P}(t)$ の描く軌跡を
ベジェ曲線（Bezier Curve）という。
例えば, $\mathbf{P}_0 = (0, 0)$, $\mathbf{P}_1 = (1, 1)$, $\mathbf{P}_2 = (2, 0)$
とする。
このとき, ベジェ曲線の定義式は
$$
\mathbf{P}(t)
= {}_2\mathrm{C}_0 (1-t)^2 \mathbf{P}_0
+ {}_2\mathrm{C}_1 (1-t)t \mathbf{P}_1
+ {}_2\mathrm{C}_2 t^2 \mathbf{P}_2
$$
である。これを計算すると,
$$
\mathbf{P}(t) = (2t, -2t^2 + 2t)
$$
となり, この式の軌跡が 2 次のベジェ曲線である。
