$1$ 次ベジェ曲線とは線分である
2点で定義される $1$ 次ベジェ曲線が線分であることを確かめてみよう。
例
2点 $\mathbf{P}_{0}$ と $\mathbf{P}_{1}$ を制御点とする $1$ 次ベジェ曲線は
$\mathbf{P}(t)$ $= (1-t)\mathbf{P}_{0}$ $+t\mathbf{P}_{1}$, $0 \leqq t \leqq 1$
であり, これは制御点を結ぶ線分である.
証明.
ベジェ曲線の定義式は次であった.
$0 \leqq t \leqq 1$ について,
$\mathbf{P}(t)$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$.
なお, $\mathbf{P}(0) = \mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}(1) = \mathbf{P}_n$ である.
$n=1$ のとき, $0 \leqq t \leqq 1$ について,
$\mathbf{P}(t)$ $= (1-t)\mathbf{P}_{0}$ $+t\mathbf{P}_{1}$
である.
ゆえに, $1$ 次ベジェ曲線は, 制御点を結ぶ線分である.
$\mathbf{P}_0 = (0,0)$
$\mathbf{P}_1 = (1,1)$
のとき,
$\mathbf{P}(t)$ $=(1-t)(0,0)$ $+ t(1,1)$ $= (t,t)$
である。
これは, $0 \leqq t \leqq 1$ のときに, $\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_1$ を結ぶ線分である。
