$1$ 次ベジェ曲線とは線分である
2点で定義される $1$ 次ベジェ曲線が線分であることを確かめてみよう。
例（1 次ベジェ曲線）
2 点 $\mathbf{P}_{0}$ と $\mathbf{P}_{1}$ を制御点とする
$1$ 次ベジェ曲線 $\mathbf{P}(t)$ は,
$$
\mathbf{P}(t) = (1-t)\mathbf{P}_{0} + t\mathbf{P}_{1}
\quad (0 \leqq t \leqq 1)
$$
である。
この式は,
$\mathbf{P}(t)$ の軌跡は制御点 $\mathbf{P}_{0}$ と $\mathbf{P}_{1}$ を結ぶ線分そのものである。
証明（1 次ベジェ曲線）
§ベジェ曲線の定義
ベジェ曲線の定義式は, 次で与えられる。
$0 \leqq t \leqq 1$ に対して,
$$
\mathbf{P}(t)
= \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{\,n-k} t^{k} \mathbf{P}_k
$$
と定義される。
このとき,
$$
\mathbf{P}(0) = \mathbf{P}_0, \quad
\mathbf{P}(1) = \mathbf{P}_n
$$
が成り立つ。
§$n=1$ の場合
$n=1$ のとき, 上の定義式は $0 \leqq t \leqq 1$ に対して,
$$
\mathbf{P}(t)
= (1-t)\mathbf{P}_0
+ t \mathbf{P}_1
$$
となる。
§結論
$\mathbf{P}(t)$ は, 制御点 $\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_1$ を結ぶ線分上を動く。
ゆえに, $1$ 次ベジェ曲線は, 制御点を結ぶ線分であることが分かる。
$\mathbf{P}_0 = (0, 0)$,
$\mathbf{P}_1 = (1, 1)$
とする。
このとき,
$$
\mathbf{P}(t)
= (1-t)(0, 0) + t(1, 1)
= (t, t)
$$
である。
したがって,
$0 \leqq t \leqq 1$ のとき,
$\mathbf{P}(t)$ は
$\mathbf{P}_0$ と $\mathbf{P}_1$ を結ぶ線分を表す。
