ベジェ曲線のハンドルが接線であること
ベジェ曲線の両端点のハンドルが, ベジェ曲線の接線になっていることを証明してみよう。
命題
制御点 $\mathbf{P}_{0}$, $\mathbf{P}_{1}$, $\cdots$ , $\mathbf{P}_{n}$ から定められる $n$ 次ベジェ曲線について, 線分 $\mathbf{P}_{0}\mathbf{P}_{1}$ と $\mathbf{P}_{n-1}\mathbf{P}_{n}$ は, ベジェ曲線の点 $\mathbf{P}_{0}$ と $\mathbf{P}_{n}$ のそれぞれの接線である.
証明.
ベジェ曲線の定義式は次であった.
$0 \leqq t \leqq 1$ について,
$\mathbf{P}(t)$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{C}_k (1-t)^{n-k}t^k \mathbf{P}_k$.
なお, $\mathbf{P}(0) = \mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}(1) = \mathbf{P}_n$ である.
$t$ で微分すると,
$\displaystyle \frac{d\mathbf{P}}{dt}(t)$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_k$ $\{ k(1-t)^{n-k}t^{k-1}$ $- (n-k)(1-t)^{n-k-1}t^k \}$ $\mathbf{P}_k$
となる. $t=0, 1$ のときを計算すると,
$\displaystyle \frac{d\mathbf{P}}{dt}(0)$ $\displaystyle = - n \mathbf{P}_0$ $+n\mathbf{P}_1$ $=n \overrightarrow{\mathbf{P}_0 \mathbf{P}_1}$
$\displaystyle \frac{d\mathbf{P}}{dt}(1)$ $\displaystyle = - n \mathbf{P}_{n-1}$ $+n\mathbf{P}_n$ $=n \overrightarrow{\mathbf{P}_{n-1} \mathbf{P}_n}$
となる. したがって, ベジェ曲線 $\mathbf{P}(t)$ の $\mathbf{P}_{0}$ での接線方向は $\overrightarrow{\mathbf{P}_{0} \mathbf{P}_1}$ であり, $\mathbf{P}_{n}$ での接線方向は $\overrightarrow{\mathbf{P}_{n-1} \mathbf{P}_n}$ であることが分かる.
ゆえに, 線分 $\mathbf{P}_{0}\mathbf{P}_{1}$ と $\mathbf{P}_{n-1}\mathbf{P}_{n}$ は, ベジェ曲線の点 $\mathbf{P}_{0}$ と $\mathbf{P}_{n}$ のそれぞれの接線である.
$n=2$ のときは,
$\mathbf{P}(t)$ $=(1-t)^2\mathbf{P}_0$ $+2t(1-t)\mathbf{P}_1$ $+ t^2\mathbf{P}_2$
である。
$t=0, 1$ での微分係数は,
$\mathbf{P}'(0)$ $=2(\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0)$ $= 2\overrightarrow{\mathbf{P}_0\mathbf{P}_1}$
$\mathbf{P}'(1)$ $=2(\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1)$ $= 2\overrightarrow{\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2}$
となる。
これがそれぞれの点での接線方向です。
