二項分布の分散の公式の証明
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ の分散が $V[X] = np(1-p)$ であることを証明してみよう。
二項分布の分散
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ について,
$V[X]=np(1-p)$
証明.
二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は, ベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う $n$ 個の独立な確率変数 $X_1$, $\ldots$, $X_n$ の和で表すことができる.
$$X = X_1 + \cdots + X_n.$$
$1 \leqq i \leqq n$ について, $i$ 回目の試行が成功した場合 $X_i=1$, 失敗した場合 $X_i = 0$ と定める.
例えば, $X=n$ であった場合, 全ての $i$ で $X_i=1$ であるから $X_1 + \cdots +X_n = n$ となり $X=n$ と一致する. また, $X=2$ である場合, $X_1$ から $X_n$ のうち2個は, 成功したときに対応するもので, その値は $1$ である. 他のものの値は $0$ となるため, $X_1 + \cdots + X_n = 2$ で $X=2$ に一致する.
任意の添え字 $i$ について, $X_i$ はベルヌーイ分布 $B(1,p)$ に従う確率変数なので $V[X_i] = p(1-p)$ である.
$\begin{aligned}
V[X] &= V [X_1 + \ldots + X_n ] \\
&= V[X_1]+ \ldots + V[X_n] \\
&= p(1-p) + \cdots + p(1-p) \\
&= np(1-p).
\end{aligned}$
独立な確率変数 $X$ と $Y$ について $V[X+Y] = V[X] + V[Y]$ である.
ゆえに, $V[X] = np(1-p)$ である.
例えば, 二項分布 $B(10,0.3)$ は, 成功確率が $0.3$ の試行を $10$ 回行った結果の確率分布です。
1回試行した結果の分散は $0.21$ です。
$10$ 回試行した結果の分散は
$V[X]$ $= 0.21 \times 10$ $= 2.1$
です。
