$(x+y)^n$ の展開の計算（二項定理）
二項定理と呼ばれる $(x+y)^n$ の展開を理解してみよう。
二項定理
$\displaystyle (x+y)^n$ $=x^n$ $+ {}_n \mathrm{C}_1 x^{n-1}y$ $+ {}_n \mathrm{C}_2 x^{n-2}y^2$ $+\cdots$ $+ {}_n \mathrm{C}_{n-1} xy^{n-1}$ $+ y^n$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k}y^k$
証明.
$(x+y)^n = (x+y) \cdot \cdots \cdot (x+y)$ を展開すると $x^{n-k}y^k$ は ${}_n \mathrm{C}_k$ 個存在する.
なぜならば, $n$ 個の $(x+y)$ の積において, $x$ を $n-k$ 回, $y$ を $k$ 回選んでかける組合せの総数と等しいからである.
また, 展開式に現れる単項式は $x^{n-k}y^k$ の形のみで, $0 \leqq k \leqq n$ の範囲を動く.
ゆえに,
$\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k x^{n-k}y^k$
が成立する.
例えば,
$(x+1)^4$
$= {}_4 \mathrm{C}_0x^4$ $+{}_4 \mathrm{C}_1 x^3$ $+{}_4 \mathrm{C}_2 x^2$ $+{}_4 \mathrm{C}_3 x$ $+{}_4 \mathrm{C}_4 \cdot 1$
$= x^4$ $+ 4 x^3$ $+6 x^2$ $+4 x$ $+1$
です。
