円順列について

理屈.

$n$ 個のものから $r$ 個を選び一列に並べる順列の総数は ${}_n\mathrm{P}_r$ 通りであった.

ある $r$ 個のものを $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_r$ とする. この $r$ 個が $x_1 x_ 2 \cdots x_{r-1}x_r$ の順番に一列に並んでいたとすると, 以下の $r$ 通りの並び方

$\begin{aligned}
& x_1 x_ 2 \cdots x_{r-1}x_r \\
& x_2 x_ 3 \cdots x_r x_1 \\
& x_3 x_ 4 \cdots x_1 x_2 \\
& \vdots \\
& x_r x_ 1 \cdots x_{r-2}x_{r-1}
\end{aligned}$

は, 円形に並び変えたときにすべて同じ並び方になる.

すなわち, 一列に並べる順列の総数${}_n\mathrm{P}_r$ のうち, 円形に並び替えたときに同じ並び方になるものが $r$ 通りずつ存在することが分かる

したがって, $n$ 個のものから $r$ 個を選び円形に並べる順列の総数は

$\displaystyle \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r}$

である.

なお, $r=n$ のときは, ${}_n\mathrm{P}_r = n!$ であるから, $n$ 個のものをすべて円形に並べる順列の総数は

$\displaystyle \frac{n!}{n}$ $=(n-1)!$

となる.